Математические модели для аналитического описания сложных геометрических объектов и их преобразований: теория и приложения : диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук : 05.13.18

Настоящее время невозможно представить без нарастающего присутствия
визуальных геометрических образов в таких областях человеческой деятельности
как: графический дизайн, архитектурно-строительная сфера, судо- и авиастроение,
машиностроение, металлургия, а также во многих других отраслях, где возникают
задачи формообразования и оптимизации геометрических структур по
эстетическим, технологическим или конструктивным признакам. Процесс решения
тех или иных естественно-научных и инженерных задач неразрывно связан с
созданием пространственной модели, построенной на реальных параметрах
исследуемого объекта. Средства компьютерного моделирования могут
обеспечивать наглядность происходящих изменений при варьировании
параметров, визуализированных на экране компьютера геометрических моделей,
что позволяет в достаточной мере верифицировать исходную модель без средств
математического моделирования, то есть без установления функциональных связей
между параметрами объекта и использования содержательного математического
аппарата.
Далеко не всегда целью геометрического моделирования является
формообразование, так при использовании статистических методов при
количественном описании текстуры поликристаллических материалов
геометрическая модель является наглядной демонстрацией физических процессов,
а также позволяет получить геометрические факторы, определяющие те или иные
физико-механические свойства текстурированных поликристаллических
материалов и находить области их изменения.
Геометрическое моделирование использует фундаментальные результаты
теории матриц, математического анализа, дифференциальной геометрии,
аналитической и начертательной геометрий, векторной и линейной алгебр,
вычислительной математики и как одно из направлений математического
моделирования развито незначительно.
Актуальность темы. Математическое моделирование физико-механических
процессов и инженерных сооружений часто связано с необходимостью создания
геометрических моделей. С их помощью можно определить образ существующего
или проектируемого объекта, провести соответствующий постановке задачи
численный эксперимент и осуществить необходимые коррекции. Геометрической
моделью в широком смысле называется совокупность формального описания
исследуемого объекта и соответствующего ему визуального образа,
представленного в пространствах различной размерности. Формальным описанием
в связи с развитием современных методов компьютерного моделирования в первую
очередь является численное моделирование геометрических объектов
окружающего мира. При этом их многообразие создается с использованием
базовых геометрических элементов: точки, линии и поверхности.
В последние годы появились и нашли широкое применение
специализированные пакеты для компьютерного моделирования геометрических
объектов, из которых наибольшее распространение на российском рынке получили
Ansys, Компас, Лира, AutoCAD, SolidWorks, Illustrator, CorelDraw. Математический
аппарат, используемый при создании этих пакетов, основан на численных методах
задания объектов. Большой вклад в их разработку и описание внесли Д. Роджерс,
Дж. Адамс, М. Агастона, С. Кунс, Жан Галльера, Карл де Бур, Н.Н. Голованов, Г.В.
Носовский, А.Т Фоменко, Е.А. Никулин. Создание сложных геометрических
моделей осуществляется с использованием группы преобразований, таких как
сопряжение, пересечение, объединение, трансляция, вращение, деформация,
масштабирование.
Для повышения точности, сокращения вычислительных затрат и
алгоритмического удобства при компьютерном моделировании весьма
эффективным инструментом являются аналитические методы. Они позволяют
получить связь между параметрами объекта моделирования в аналитической
форме, исследовать различные его свойства и анализировать их качественное
поведение. Аналитическими методами описания геометрических объектов и их
преобразований занимаются R. M. Brannon, E. Kovacs, M. Behandish, С.Н.
Кривошапко, В.Н. Иванов, Н.Р. Щербаков, П.Г. Доля. Несмотря на первенство в
исторической ретроспективе, как самостоятельное направление аналитическое
моделирование геометрических объектов и их преобразований не так широко
развито.
Существует отдельная группа специализированных математических пакетов
компьютерной алгебры – MatLab, Mathematica, Mathcad, Maple, которые позволяют
создавать геометрические модели, используя преимущества аналитического
моделирования. Актуальным является развитие аппарата аналитического описания
сложных геометрических объектов на основе преобразований независимых от
выбора системы координат. Это даст возможность создавать математические
модели объектов и применять их в качестве самостоятельных элементов при
решении различных научных и прикладных задач.
Цель диссертационной работы: создание комплекса универсальных
методов аналитического описания сложных геометрических объектов,
применимого для решения задач математического моделирования в различных
областях.
Для достижения цели диссертационной работы решены следующие задачи:
1.Анализ существующих методов геометрического моделирования: гладкого
сопряжения кривых и плоскостей; построения линейной перспективы плоских и
объемных геометрических объектов; описания сферического движения твердого
тела и операции поворота геометрических объектов вокруг оси произвольного
направления и положения.
2. Разработка метода аналитического описания гладкого сопряжения кривых и
поверхностей в векторной форме и получение алгоритма построения поверхности
сопряжения как самостоятельного объекта.
3. Разработка и реализация векторного алгоритма операции поворота
геометрических объектов вокруг оси произвольного положения, проходящей через
заданную точку пространства.
4. Разработка метода аналитического описания и алгоритма построения линейной
перспективы одномерных и двумерных объектов при произвольном задании
плоскости проецирования и центра перспективы.
5. Построение нелинейной интерполяции кватернионов и на его основе получение
аналитического описания плавного сферического движения абсолютно твердого
тела.
6. Разработка комплекса прикладных программ для описания преобразований
сложных геометрических объектов в пакетах компьютерной алгебры.
7.Демонстрация универсальности разработанных математических методов на
примере компьютерного моделирования инженерных объектов и при решении
естественно-научных задач.
Научная новизна:
1.Предложен метод для аналитического описания сложных геометрических
объектов и преобразований, удовлетворяющий требованию их независимости от
выбора системы координат.
2.Выполнено аналитическое описание гладкого сопряжения двух пересекающихся
плоскостей, получено аналитическое представление и компьютерная модель
поверхности их сопряжения.
3.Разработан оригинальный метод аналитического построения линейной
перспективы одномерных и двумерных объектов.
4.Впервые получено аналитическое описание плавного сферического движения
твердого тела с использованием нелинейной интерполяции кватернионов.
5.Разработана система компьютерного моделирования для реализации
рассмотренных в диссертационной работе аналитических методов преобразований
сложных геометрических объектов.
6. Получено аналитическое описание динамической модели поверхности желоба
горки или санной трассы и осуществлено ее компьютерное моделирование в пакете
компьютерной алгебры Mathcad.
Достоверность результатов подтверждается соответствием
представленных в работе результатов моделирования частным решениям,
полученным другими исследователями, а также удовлетворительными
результатами решения тестовых задач.
Практическая ценность состоит в возможности использовать
разработанные аналитические методы в специализированных пакетах
компьютерной алгебры, а также в широком их применении для описания
высокотехнологичных инженерных объектов сложной геометрии, в том числе – с
учетом геометрических, кинематических и динамических характеристик объекта
моделирования. Разработан новый комплекс прикладных программ для
компьютерного моделирования оболочек высотных зданий, архитектурных
решений фасадов, поверхности желоба горки и санной трассы, а также текстуры
поликристаллического материала.
Положения, выносимые на защиту:
1. Новый универсальный комплекс аналитических методов описания сложных
геометрических объектов и их преобразований для компьютерного моделирования:
гладкого сопряжения двух пересекающихся плоскостей; линейной перспективы
одномерных и двумерных объектов при произвольном задании центра перспективы
и плоскости проецирования; поворота геометрических объектов вокруг оси
произвольного положения, проходящей через заданную точку пространства;
нелинейной интерполяции кватернионов для описания плавного сферического
движения твердого тела.
2. Динамическая модель поверхности желоба горки или санной трассы при
произвольном законе изменения перегрузки, заданной начальной скорости
движения и с учетом конструктивных параметров горки.
3. Аналитический вид функции плавного пуска и торможения для её использования
в задачах компьютерного моделирования движения механических систем.
4. Новый способ описания и компьютерной визуализации текстуры
поликристаллических материалов, в том числе ортотропных материалов с
кубической симметрией решетки с использованием статистических характеристик
случайных распределений на группе SO(3) в параметрах ось-угол.
Апробация работы. Основные результаты исследований, представленные в
диссертационной работе, докладывались и обсуждались на Всероссийских и
Международных конференциях: XII Международной научно-практической
конференции «Естественные и математические науки в современном мире»
(Новосибирск, 2013), II Всероссийской научной школе-конференции студентов,
аспирантов, молодых ученых и специалистов «Научные исследования и инновации
в аэрокосмической технике и технологиях» (Пермь, 2013), Международной научно
– практической конференции «Современный город: проектирование, строительство
и развитие» (Екатеринбург, 2014), VIII Российской научно-технической
конференции «Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций
MRDMS» (Екатеринбург, 2014), межвузовском научном семинаре «Геометрия и
расчет тонких оболочек неканонической формы», (Москва, 2014), Международном
форуме и выставке высотного строительства FORUM RUSIA 100+ (Екатеринбург,
2014), Всероссийской научной конференции «Проблемы деформирования и
разрушения материалов и конструкций» к 50-летию кафедры «Динамика и
прочность машин» (Пермь, 2015), Международной научной конференции «Textile
Composites and Inflatable Structures» Structural Membranes (Барселона, 2015),
Международной научной конференции «Механика, ресурс и диагностика
материалов и конструкций MRDMS) (Екатеринбург, 2016, 2018), XI
Международной научной конференции «Полиномиальная Компьютерная
Алгебра» (Санкт-Петербург, 2018).
Полностью диссертация обсуждалась на семинарах кафедры теоретической