ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Обзор существующих математических моделей, теорий, методов и задач исследования тонких многослойных оболочек
Глава 1. Математическое моделирование симметричных и несимметричных относительно срединной поверхности многослойных гибких ортотропных оболочек, описываемых кинематической моделью третьего приближения
с учетом межслоевых поперечных сдвигов
1.1 Основные гипотезы и предположения модели
Шереметьева-Пелеха (М3)
1.2 Дифференциальные и вариационные уравнения
математической модели (М3).
1.3 Алгоритмы численного исследования устойчивости
гибких многослойных ортотропных оболочек
1.4 Безразмерный вид исходных дифференциальных
уравнений математической модели М3.
1.5 Численный эксперимент
1.6 Математическая модель симметричных и несимметричных
относительно срединной поверхности многослойных гибких ортотропных оболочек с учетом межслоевых поперечных сдвигов
1.7 Выводы по главе 1
Глава 2. Математическая модель многослойной
ортотропной пластинки МЭМС Жермен-Лагранжа с учетом модифицированной моментной теории упругости и методы её аналитического
и численного решения
2.1 Математическое моделирование многослойной ортотропной пластинки МЭМС с учетом модифицированной моментной теории упругости.
2.2 Точное аналитическое решение для многослойных ортотропных пластинок
с учетом модифицированной моментной теории упругости – решение Навье
3
2.3 Аналитическое решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа
методом одинарных тригонометрических рядов Мориса-Леви
2.4 Метод Бубнова-Галёркина в высших приближениях
2.5 Методы сведения модифицированного уравнения в частных производных Жермен-Лагранжа к обыкновенным дифференциальным уравнениям
и применение подхода Аграновского-Баглая-Смирнова
(учёт невязки решения)
2.5.1 Аналитическое решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа методом Канторовича-Власова
2.5.2 Решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа методом Канторовича-Власова в первом приближении для граничных условий (2.1.6).
2.5.3 Решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа методом Канторовича-Власова в первом приближении
2.5.4 Аналитическое решение методом Канторовича-Власова во втором приближении
2.6 Метод вариационных итераций
2.7 Метод Вайдинера (МВ)
2.7.1 Аналитическое решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа методом Вайндинера
2.8 Численное решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа
для многослойных ортотропных пластин методом конечных разностей
2.9 Обсуждение результатов.
Выводы по главе 2
Глава 3. Хаотическая динамика прямоугольных в плане пластин и оболочек, описываемая модифицированной моментной теорией упругости с учетом кинематической модели первого приближения Кирхгофа-Лява.
3.1 Математическая модель нелинейной динамики гибких прямоугольных
в плане пластинок, описываемых модифицированной моментной теорией упругости с учетом кинематической модели первого приближения – Кирхгофа-Лява
3.2 Применение метода Фаэдо-Галёркина в высших приближениях
для сведения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных

4
производных, описывающих нелинейную динамику прямоугольных в плане
пластинок с учетом модифицированной моментной теории упругости к задаче Коши. Решение задачи Коши
3.3 Применение метода конечных разностей второго порядка точности
для сведения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих нелинейную динамику прямоугольных в плане пластинок с учетом модифицированной моментной теории упргости, к задаче Коши. Решение задачи Коши
3.4 Сопоставление численных результатов, полученных методом Фаэдо- Галёркина и методом конечных разностей второго порядка точности
для исследования нелинейной динамики прямоугольных в плане пластинок
3.5 Исследование влияния размерно-зависимого параметра в задачах статики
и динамики для прямоугольных в плане пластинок
3.6 Хаотическая динамика размерно-зависимых гибких прямоугольных в плане пологих оболочек.
3.7 Выводы по главе 3
Глава 4. Математическая модель неоднородных микроэлементов МЭМС контактного взаимодействия пластинки, подкрепленной балкой с зазором между ними, при действии внешних силовых, температурных и шумовых полей.
4.1 Математическая модель нелинейной динамики неоднородных микроэлементов МЭМС контактного взаимодействия неоднородных пластин
и подкреплённых неоднородных балкой с зазором между ними при действии внешних силовых, температурных, шумовых полей и связанности полей температуры и деформации
4.1.1 Гипотезы
4.1.2 Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского
4.1.3 Дифференциальные уравнения контактного взаимодействия неоднородных структур МЭМС контактного взаимодействия пластинки, подкрепленной балкой
с зазором между ними, при действии внешних силовых, температурных
и шумовых полей
4.2 Связанная динамическая задача термоупругости для неоднородной
изотропной пластинки Кирхгофа с учетом модифицированной
моментной теории упругости
4.3 Применение метода Фаэдо-Галёркина в высших приближениях
и метода конечных разностей второго порядка точности для сведения
уравнений в частных производных к задаче Коши
4.3.1. Тип приложения теплового потока.
4.3.2. Влияние белого внешнего шума
Выводы по главе 4
Общие выводы по работе.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Во введении представлено обоснование актуальности темы исследования, дан краткий исторический обзор исследований по теме диссертации, обозначены предмет и объект исследования, поставлены цели и задачи работы, указаны используемые методы, приведена теоретическая и практическая значимость работы, продемонстрированы достоверность и апробация результатов, сформулированы новые научные результаты, которые выносятся на защиту. Показаны примеры механических систем, которые включают исследуемые элементы.
В первой главе построена математическая модель симметричных и несимметричных относительно срединной поверхности многослойных гибких ортотропных оболочек, описываемых кинематической моделью третьего приближения Шереметьева-Пелеха-Григолюка-Куликова с учетом межслоевых поперечных сдвигов и модифицированной моментной теории упругости.
Рис. 1. Расчетная схема многослойной пологой оболочки
Рис. 2. Схема деформации элемента оболочки сс′
Введем гипотезы и предположения. Область Ω пространства 3 в декартовой системе координат определена следующим образом (рис. 1):
 x,x,xx,x0,a0,b,x  , область ={[0, ]×[0, ]}– 12312 3
прямоугольный план оболочки; 2h0 – постоянная толщина оболочки; 3 = 0 – нижняя лицевая поверхность оболочки; 3 = + +1 – верхняя лицевая поверхность оболочки; ∆ – толщина оболочки от верхней лицевой поверхности до поверхности 3 = 0.
Обозначим за , = 0, + , толщину i-го слоя оболочки; – количество слоев до слоя, содержащего поверхность 3 = 0; – количество остальных слоев. Интервал изменения 3 ∈ ( 0, + +1) разобьем на интервалы в пределах одного слоя – ( , +1). Оси 0 1, 0 2, направлены вдоль главных линий кривизны этой поверхности, а ось 0 3 – к центру кривизны. Оболочка пологая по В.З. Власову. Предполагаем, что нормальные напряжения 33 = 0 малы по сравнению с прочими напряжениями в уравнениях состояния. Рассматриваем кусочно-однородные по толщине оболочки, составленные из произвольного количества слоев с постоянной в пределах каждого
слоя толщиной, различной жесткости, произвольно расположенных относительно поверхности приведения 3 = 0. Если слои ортотропны, то в каждом из них одна плоскость упругой симметрии параллельна плоскости, касательной к поверхности приведения, а две другие перпендикулярны осям 0 1 , 0 2 . Деформированное состояние оболочки рассматриваем в предположении, что прогибы точек поверхности приведения могут быть одного порядка с толщиной оболочки. Геометрическую нелинейность вводим по модели Теодора фон Кармана. Изучаем поведение оболочки только под действием поперечной силы: + = ; − = 0. Поле перемещений для многослойной оболочки задается по модели Шереметьева-Пелеха (1) с учетом поперечных сдвигов:
= + + 2 + 3 , = + + 2 + 3 , (1) 11313131 22323232
= 33
Для нахождения неизвестных функций 1 ( 1, 2), 2 ( 1, 2), 1 ( 1, 2), 2 ( 1, 2), используем дополнительные связи на лицевых поверхностях оболочки (рис. 7):
= ( ) 0 + ( ) , = ( ) 0 + ( )
13 031 31 23 032 32 (2)
где 10, 20, 1 , 2 – искомые функции переменных 1, 2, вводимые с целью стыковки напряжений в смежных слоях, а 0( 3) и ( 3) – заданные функции ( – номер слоя), которые определяются из функционала Рейсснера. Для многослойного пакета также используется модифицированная моментная теория упругости. Из кинематической модели Пелеха-Шереметьева (рис. 2) (фиолетовая кривая линия) вытекают
кинематические модели С.П. Тимошенко (рис. 2) (синяя прямая линия 1 = 30, 1
2 = 30) и кинематическая Кирхгофа-Лява (рис. 2) (черная прямая линия 1 = 2 = 2
0). Записывается функционал Лагранжа, из которого следуют вариационные, дифференциальные уравнения и краевые условия искомой математической модели с учетом кинематической модели Пелеха-Шереметьева в смешанной форме относительно прогиба срединной поверхности 3, функции усилий и углов поворота 1, 2. Из этих уравнений как частный случай следуют дифференциальные уравнения с учетом кинематических моделей Кирхгофа-Лява и С.П. Тимошенко для многослойных ортотропных гибких пологих оболочек.
Особенностью математической модели с учетом кинематической модели по сравнению с математической моделью-2 является наличие бигармоничного оператора в первом уравнении – уравнении относительно прогиба. Обобщённое решение задачи принадлежит пространству 2. Назовем обобщенным решением дифференциальных уравнений вектор = ( 3, 1, 2, ) ∈ 2, удовлетворяющий интегральному тождеству:
( , ) = ( 1( 3), ) + ( 2( 1), ) + ( 3( 2), ) + ( 4( ), ) = ( , ) (3) для любого вектора = ( , , , ) ∈ 1.
Следует отметить, что в случае несимметричного пакета слоёв из интегрального тождества после его аппроксимации нельзя получить сеточную аппроксимацию третьих производных от углов поворота при переходе к граничному слою для граничных условий типа «защемлений»; для решения этой проблемы накладывались дополнительные условия гладкости на углы поворота, тем самым мы получаем вариационно-разностные уравнения.
В дифференциальных уравнениях с учетом кинематической модели Пелеха- Шереметьева, кроме продольных усилий, изгибающих моментов, присутствуют моменты высшего порядка.
В качестве примера рассмотрена оболочка, защемленная по контуру:
3| = 3 = 1| = 2| = | = 2 =0, (4)
2
где – нормаль к внешнему контуру оболочки. Рассчитывались тонкие пологие
оболочки, имеющие толщину, лежащую в диапазоне: 1 < h < 1 , где − радиус 1000 50 кривизны оболочки, для которой выполняется критерий пологости Рейсснера ( ⁄ ≤ 1/8), где − стрела подъема оболочки над планом. Исследована сходимость решения разбиения плана оболочки в зависимости от параметров a = b = 1 см, h = 0.01 (I) и h = 0.008 (II). Физические и геометрические параметры: слои оболочки чередуются: алюминий E1 = 7.138 *105 кгс/см2,   0.34 , стеклопластик E2= 1.7×105 кгс/см2,   0.3 , графитопластик E3 = 2.4×105 кгс/см2 ,   0.28 . На рис. 3, 4, 5 изображена расчетная схема оболочки (оранжевый цвет – алюминий, зеленый цвет – стеклопластик, синий – графитопластик). В работе исследуется статистическая устойчивость гибких пологих ортотропных прямоугольных в плане оболочек под действием распределенной нагрузки вариационно-разностным методом. На рис. 3 приведены зависимости прогиба u3 от статической нагрузки q для оболочки из материалов алюминий и стеклопластик (ортотропный материал) с количеством слоев, изменяющимся от трех до девяти (линия 1 – 3 слоя, линия 2 – 5 слоев, линия 3 – 7 слоев, линия 5 – 9 слоев). Подробный численный эксперимент показывает, что увеличение количества чередующихся слоев увеличивает ее несущую способность для рассматриваемого граничного условия (4). С увеличением количества чередующихся слоев для каждой отдельной модели кривые устойчивости сближаются между собой. Рис. 3. Сравнение результатов по числу слоев (L) Рис. 4. Сравнение результатов для трехслойных оболочек h = 0.046 см (трехслойный симметричный пакет – кривая 1), (несимметричный трехслойный пакет – кривая 2) Рис. 5. Сравнение результатов для трехслойной симметричной оболочки h = 0.046 см, из материала (кривая 1 – алюминий, стеклопластик, алюминий), (кривая 2 – стеклопластик, графитопластик, стеклопластик) На рис. 4 показаны зависимости прогиба от нагрузки для двух случаев: 1. Три слоя расположены симметрично относительно срединной линии, т.е. верхний и нижний слои из алюминия с толщиной h1= 0.002 см каждый из них, средний слой из стеклопластика толщиной h2 = 0.042 см; 2. Три слоя расположены несимметрично: верхний слой имеет толщину h1 = 0.02 см, нижний слой – h2 = 0.01 см и средний слой – h3 = 0.016 см. Учет несимметричности пакета слоев оболочки приводит к уменьшению прогиба в закритической области. На рис. 5 представлены зависимости прогиба от нагрузки для оболочек, выполненных из различных материалов. Слои симметрично расположены относительно срединной поверхности (кривая 1 – материал верхнего и нижнего слоя – алюминий, средний слой – стеклопластик, кривая 2 – материал верхнего и нижнего слоя – стеклопластик, средний слой – графитопластик). Как показывает численный эксперимент, несущая способность слоистой оболочки из алюминия и композитных материалов значительно выше. Во второй главе построена математическая модель многослойных ортотропных пластинок модели Кирхгофа с учетом модифицированной моментной теории упругости – модифицированные уравнения Софи Жермен-Лагранжа. Решение этого уравнения получено точно методами Навье и Мориса-Леви, а также аналитическими приближенными методами (Канторовича-Власова, вариационных итераций, Вайндинера с учетом невязки решения по методу Аграновского-Баглая- Смирнова) и численными методами: методом конечных разностей второго порядка точностей, методом конечных элементов (таблица 1). Решения, выделенные желтым цветом, – это те решения, которые совпадают с точным решением. Таблица 1 – Сопоставление решений, полученных методами, указанными выше Аналитические решения Тип решения Методы решения = ( . ; . ) Точное решение Метод Навье N=5; 9 0.311 Метод Бубнова- Галёркина N=5; 9 0.311 (0%) 0.225 (0%) 0.151 (0%) Метод Канторовича- Власова 2 прибл. 0.312 (0.322%) 0.225 (0%) 0.151 (0%) Метод вариационных итераций 0.309 (0.643%) Метод Вайндинера Метод конечных разностей (n*n=225) 0.310 (0.322%) Численные решения Метод конечных элементов – треугольные элементы (350 элементов) 0.310 (0.322%) В третьей главе была построена математическая модель нелинейной динамики гибких, упругих, изотропных прямоугольных в плане пластин и оболочек, описываемых модифицированной моментной теорией упругости = .3 ( . ; . ) 0.225 0.223 (0.889%) 0.225 (0%) 0.225 (0%) = .5 ( . ; . ) 0.151 0.150 (0.658%) 0.309 (0.643%) 0.223 (0.889%) 0.150 (0.658%) 0.151 (0%) 0.151 (0%) Метод конечных элементов – четырехугольные элементы (165 элементов) 0.310 (0.322%) 0.225 (0%) 0.151 (0%) 11 с учетом кинематической модели Кирхгофа-Лява. Тело оболочки представляет трехмернуюобластьΩ={0≤x1 ≤a; 0≤x2 ≤b; −h⁄2≤x3 ≤ h⁄2}. Рис. 6. Расчетная схема прямоугольной в плане оболочки Согласно модифицированной моментной теории упругости потенциальная энергия деформации П = 1 ∫ ( + ) , где 2 − компоненты тензора деформации, − компоненты симметричного тензора градиента кривизны, которые определяются следующим образом: = + 2 , = 12 ( , + , + , , ), = 12 ( , + , ), = 12 ( ( )) , = 2 2 , (6) здесь – вектор смещений с компонентами , = { 1 , 2 , 3 }, является бесконечно малым вектором вращения с компонентами . Обозначим , , и соответственно компоненты: классического тензора напряжений , тензора деформаций , девиаторной части симметричного тензора момента высшего порядка m и симметричной части тензора кривизны ; = , = – параметры (1+ )(1−2 ) 2(1+ ) Ламэ; , – модуль Юнга и коэффициент Пуассона, соответственно, – символ Кронекера. Параметр , появляющийся в моменте высшего порядка , представляет собой дополнительный независимый материальный параметр длины, связанный с симметричным тензором градиента вращения. В этой модели в дополнение к обычным параметрам Ламэ необходимо учесть еще один масштабный параметр длины . Это прямое следствие того, что в моментной теории упругости, плотность энергии деформации есть функция тензора деформации и симметричного тензора кривизны. Она не зависит явно от вращения (несимметричной часть градиента деформации) и несимметричной части тензора кривизны. Для построения математической модели приняты следующие гипотезы: материал пластинки упругий и изотропный; учитывается модифицированная моментной теорией упругости; нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, пренебрежимо малы; геометрическая нелинейность принята по теории Теодора фон Кармана; приняты кинематические гипотезы первого приближения Кирхгофа-Лява. Запишем принцип Гамильтона-Остроградского ∫ 2( − П + ′ ) = 0 1 где ′ – работа внешних сил , П – вариации кинетической и потенциальной энергии из которого получаем нелинейные дифференциальные уравнения динамики гибких пологих оболочек: ( h3(1− ) + 2 h )∇4 −h ( , )+h 2 +h 2 + 12(1+ )(1−2 ) 2(1+ ) 2 12 1 22 (7) + h 2 + h − ( , , ) = 0, 2 1∇4 +1 ( , )+ 2 + 2 =0, 2 2 12 1 22 где и – функция прогиба и усилия. К уравнениям (7) следует присоединить граничные и начальные условия. Уравнение (7) приводится к безразмерному виду следующим образом: ̅ 1 = 12 2⁄ 1h, ̅ 2 = 2⁄ 2h – комплексный безразмерный параметр кривизны оболочки по 1 и по 2, 1 = – геометрический параметр; = h – размерно-зависимый параметр; = ̅ , = ̅ ̅̅; = h ̅ – прогиб; = h3 ̅ – функция усилий; 1122 = √ ̅ – время; = h4 ̅ – внешнее давление; = √ ̅ – коэффициент h 2 2 h демпфирования среды. В уравнении (7) черточка над безразмерными параметрами для простоты опущена. Так как дифференциальные уравнения (7) нелинейные, восьмого порядка в частных производных, получение аналитического точного решения невозможно. В работе предлагается получать решения несколькими методами, по своей структуре существенно отличающимися на каждом этапе один от другого, исследовать их сходимость для получения достоверного решения как системы с заданным числом степеней свободы (рис. 7). Рассмотрим нелинейную динамику квадратной в плане пластинки 1 = = 1 , шарнирно-опертую по контуру, на гибкой несжимаемой в касательной плоскости ребра: =0; 2 =0; =0; 2 =0, 1 =0; ; =0; 2 =0; =0; 2 =0 (8) 12 12 2 =0; 22 22 Начальные условия: ( 1, 2, 0) = 0 ; ( 1, 2,0) =0 (9) Для сведения к задаче Коши уравнений (7) применим по пространственным координатам два метода – метод Бубнова-Галёркина в высших приближениях и метод конечных разностей по пространственным координатам второго порядка точности. Рассмотрим достоверность получаемых результатов на примере поликристаллической кремниевой пластины с физическими и геометрическими параметрами: a=b=200 мкм, h = 0.5 мкм, E = 1.089*106 кгс/см2. Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных с учетом модифицированной моментной теории Сведение к задаче Коши методом конечных разностей второго порядка Метод установления для получения статического решения задачи Решение задачи Коши методами типа Рунге-Кутта (от второго до восьмого порядка точности) методом Ньюмарка Сведение к задаче Коши методом Фаэдо- Галёркина Нелинейные уравнения многослойных ортотропных оболочек Шереметьева-Пелеха и Григолюка-Куликова Анализ численных результатов Анализ численных результатов Методы нелинейной динамики: анализ сигналов, фазовые портреты спектр мощности Фурье, вейвлеты разных типов, спектр Ляпуновских показателей Вариационно-разностные методы сведения искомых уравнений к системе нелинейных алгебраических уравнений Метод Ньютона, решение систем нелинейных алгебраических уравнений Рис. 7. Блок-схема Решения получены методом Фаэдо-Галёркина в высших приближениях при удержании в аппроксимации функции прогиба и усилий 11 членов ряда (N=11), и метода конечных разностей при делении плана пластинки 32∗32( =32), а также шкалы характера колебаний. В окрестности 0 = 72 кгс/см2 происходит резкий рост прогиба, то есть пластинка теряет устойчивость. Здесь следует отметить, что решения, полученные методом конечных разностей и методом Фаэдо-Галёркина в высших приближениях, практически совпали; это говорит о достоверности получаемых результатов. Было также проведено исследование влияния размерно-зависимого параметра =h =0;0.1;0.5 на нелинейную динамику квадратной в плане микропластинки 1 = = 1 шарнирно-опертой (8) при начальных условиях (9). На рис. 8, 9 представлены зависимости: максимальный прогиб в центре пластинки (100 мкм;100 мкм) от амплитуды поперечной знакопеременной нагрузки 0 ∗ sin( ) при = 1590 Гц. Уравнение (7) решается методом Фаэдо-Галёркина в высших приближениях N=11. На графике рис 9, как показывают результаты численного эксперимента, при увеличении размерно-зависимого параметра = 0,5 уменьшается значение прогиба пластинки. Шкалы характера колебаний показывают, что для = 0; 0.1 в диапазоне 0 < 0 ≤ 70.2 кгс/см2 колебания гармонические, кривые на графике – гладкие. Начиная с 70.2< 0 ≤ 85 кгс/см2 ( = 0) и 71.8< 0 ≤ 85 кгс/см2 ( = 0.1), происходит переход на утроение периода. При = 0.5 зона гармонических колебаний наблюдается на всем промежутке 0 < 0 ≤ 85 кгс/см2, отсутствует потеря устойчивости пластинки при динамической нагрузке. В таблице 2 приведены карты характера колебаний, полученные методом Фаэдо-Галёркина для = 0; 0,1; 0,5 при N = 7. Также наблюдается уменьшение зон хаотических колебаний с увеличением параметра . Рис. 8. Зависимость ( 0) и шкалы характера Рис. 9. Зависимость ( 0) колебаний, полученных методом конечных и шкалы характера колебаний пластинки разностей (n=32) и Фаэдо-Галёркина (N=11) Таблица 2 – Карты характера колебаний пластинки = 0 = 0.1 = 0.5 N= 7 Условные обозначения Гармонические колебания на частоте Колебания на несоизмеримых частотах и их линейных комбинациях Колебания на частотах ⁄2 , где ∈ Хаос 14 Аналогичные результаты получены для гибких упругих пологих оболочек c параметрами кривизны 1 = 2 = 3350 мкм, ( 1 , 2 − главные радиусы кривизны по 1 и 2 соответственно) с граничными условиями (8). В четвертой главе предложена общая теория анализа нелинейной динамики балочно-пластинчатых структур с учетом их контактного взаимодействия и связности полей температуры и деформации. Многослойная структура состоит из пластинки, подкрепленной по центру балкой, при этом между ними имеется малый зазор (рис. 10). Краевые условия: шарнирное описание по контуру пластинки и шарнирное опирание на опоре для балки. Для пластинки принята кинематическая модель Кирхгофа, а для балки – Эйлера-Бернулли. Данная модель представляет собой систему интегродифференциальных уравнений гиперболо- параболического типа разной размерности. Созданы алгоритмы расчета пластинчато-балочных структур, которые построены, как и в главе 5, при применении методов Фаэдо-Галёркина в высших приближениях Рис. 10. Расчетная схема пластинчато-балочной структуры и методов конечных разностей 2-го порядка точности, сводящие уравнения в частных производных к задачам Коши, которые решаются разными методами типа Рунге-Кутта и Ньюмарка. Для определения характера колебаний пластинчато-балочной структуры применяются несколько методов анализа знака старшего показателя Ляпунова, так же как и в главе 5: методы Вольфа, Кантца и Розенштейна. Тем самым обеспечивается достоверность получаемых решений и выявляется истинность хаоса, если колебания являются хаотическими. b1 a c1 b2 c2 e d1 d2 Рис. 11. Контактное взаимодействие для центральной точки пластинки (0.5;0.5) и балки (0.5) с учетом температуры: a – совместные колебания пластинки и балки, b1, b2 – фазовые портреты пластинки и балки соответственно, c1, c2 – спектры мощности Фурье пластинки и балки соответственно, d1, d2 – 2D-вейвлет спектры Морле пластинки и балки соответственно, e – график разности фаз Рассмотрим контактное взаимодействие пластины и балки с геометрическими и физическими параметрами: a=b=1 см, h = 0.01 см, E = 1.089*106 кгс/см2. Проведя анализ полученных безразмерных результатов, было выявлено, что увеличение нагрузки, начиная с интенсивности 0 = 0.4, приводит систему в хаотическое состояние в присутствии перемежаемости частот (рис. 11) Задача решалась с учетом температурного поля. На интервале времени ∈ [0; 150] происходит контактное взаимодействие пластинки и балки, их колебания носят хаотический характер (рис. 11 b1, b2, c1, c2, d1, d2). На отрезке ∈ [150; 200] контакт отсутствует, но колебания по-прежнему хаотические. Далее при > 200 колебания балки затухают, и колебания пластинки происходят на частотах: 1 = 21 Гц, 2 = 42 Гц и = 105 Гц (рис. 11 d1, d2). Хаотическая фазовая синхронизация происходит в диапазоне частот
∈ [58.8; 105]Гц (соответствует ̅ ∈ [2.8; 5]) ∈ [ 0 ; 0 ] (рис. 11 е). 2
Приведено доказательство существования и единственности решения задач, а также доказательство сходимости метода Фаэдо-Галёркина, которым решаются указанные задачи.
Основные выводы и рекомендации
1. Построены математические модели теории гибких многослойных пологих прямоугольных в плане оболочек с учетом кинематических моделей третьего приближения Модель-3 и Модель-4. Вариационно-разностным методом на базе основных вариационных уравнений теории пологих оболочек построены консервативные разностные схемы указанных выше моделей.
2. Показана сходимость численных алгоритмов. Проведено сравнение результатов по Модели-1 и Модели-2, Модели-3, Модели-4. Показано что математическая модель Шереметьева-Пелеха дает устойчивые результаты по сравнению с математической Моделью-2 и обладает теми же свойствами для тонких оболочек, что и классическая Модель-1. Исследовано влияние числа слоев оболочек на их устойчивость показало, что увеличение однородности снижает несущую способность оболочки.
3. Построена теория нелинейной динамики размерно-зависимых гибких прямоугольных в плане пластинок и оболочек по классической теории Кирхгофа- Лява на основе модифицированной моментной теории упругости.
4. Для получения достоверных численных результатов расчета гибких размерно-зависимых пологих прямоугольных в плане оболочек как системы с «почти» бесконечным числом степеней свободы применяются для решения два разных по своей структуре метода: Фаэдо-Галёркина в высших приближениях и метод конечных разностей второго порядка точности. Исследуется сходимость этих методов в зависимости от количества членов ряда разложения искомых функций и в зависимости от числа разбиений области интегрирования в методе конечных разностей. Полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений также решаются несколькими методами типа Рунге-Кутта и Ньюмарка. Анализ Ляпуновских показателей проводится также несколькими методами: Кантца, Вольфа и Розенштейна.
5. Установлено, что при смене характера колебаний прямоугольной в плане пластинки при действии знакопеременной равномерно распределённой нагрузки может произойти динамическая потеря устойчивости. Выявлено, что
сувеличением размерно-зависимого параметра колебания имеют меньшую амплитуду, переход к хаотическим колебаниям происходит при бо́льших нагрузках, чем при = 0.
6. Следуя идее Пуанкаре, когда требуется проанализировать множество параметров, определяющих характер колебаний, построены карты колебаний в зависимости от амплитуды и частоты поперечной знакопеременной нагрузки и размерно-зависимого параметра . Для получения каждой карты требовалось решить с помощью методов нелинейной динамики и проанализировать 9*104 задач. Выявлено, что с увеличением размерно-зависимого параметра (увеличением толщины элемента) увеличиваются зоны гармонических колебаний вне зависимости от материала.
7.Построена общая теория анализа нелинейной динамики балочно- пластинчатых структур с учетом их контактного взаимодействия, связанности полей температуры и деформаций. Изучена хаотическая фазовая синхронизация колебаний многослойной структуры и установлен диапазон частот, на котором она существует, на базе вейвлет преобразования Морле и установлен диапазон частот ∈ [2.8; 5], на которых она существует.
8. Приведено доказательство существования и единственности решения, а также доказательство сходимости метода Фаэдо-Галёркина, которым решаются указанные задачи.

Стремительное развитие инженерной мысли ставит перед исследователями новые задачи. В настоящее время интенсивно идет разработка конструкций и их элементов, обладающих новыми уникальными свойствами, для различных отраслей науки и техники: приборостроение, медицинская техника, авиа- и машиностроение, строительство, освоение космического пространства. Все чаще требуется использование новых лучших по своим характеристикам материалов.
Возможность производить механические структуры и их элементы из целого ряда материалов, сочетающие в себе высокие механические свойства, такие как высокая прочность, жесткость с очень низкой массой и сравнительно небольшими размерами, обеспечивает инженерам новые возможности для их применения.
Многослойные оболочки представляют собой тонкостенные структуры, изготовленные из двух плоских листов, разделенных слоем низкой плотности. Это позволяет сочетать высокие механические свойства, такие как высокая прочность, жесткость, с очень низкой массой и сравнительно небольшими размерами.
Следует отметить востребованность применения многослойных конструкций и их элементов – панелей, пластин и оболочек, особенно с композитными слоями. Композиты изготавливаются из двух или более материалов, соединенных вместе, чтобы получить новый материал со свойствами, которые превосходят свойства отдельных компонентов. Совершенно очевидно, что механические свойства композитов зависят, главным образом, от выбора компонентов материала, используемых для композита, но они также значительно зависят от применяемой технологии изготовления.
Наиболее подходящими для практического применения среди всех композитных материалов являются армированные волокнами композиты (FRC). Армирование принимает форму либо непрерывных (длинных) волокон либо усов (коротких волокон) [1-4]. Композиты, армированные сплошными волокнами, часто имеют следующий вид (рисунок 1). ab
Рисунок 1 – Пример четырехслойной композитной пластинки (a) и трехслойной композитной оболочки (b)
Композитный слой с параллельной системой армирующих волокон представляет собой ортотропную среду с тремя взаимно ортогональными плоскостями симметрии. Обычно композитный слой состоит из высокомодульных волокон (стекловолокно, бор или графитовые волокна), встроенных в матрицу (эпоксидная смола или полиамид). Принимая во внимание его легкий вес, пластина или оболочка из армированного волокнами композита является удивительно прочной в направлении волокон. Тем не менее одна и та же пластина (оболочка) значительно слабее во всех направлениях вне волокон. Чтобы решить эту проблему и выдерживать нагрузки с разных углов, можно использовать многослойный пакет, состоящий из нескольких пластин (оболочек) – композиционных панелей, ориентированных в разных направлениях.
Многослойная композитная панель может рассматриваться как оптимальная структура с эффективным использованием направленных свойств композитного материала [5]; однако армирование волокнами может быть применено также в трехмерной компоновке [6].
Другой тип многослойных оболочек состоит из легкого среднего слоя и двух тонких внешних поверхностей, которые могут быть в виде либо изотропных, либо многослойных композитных оболочек. Легкий средний слой не передает значительных нагрузок, наиболее важным для слоя является его небольшой вес. Когда средний слой выполнен в виде композита, требование к армированию минимально, и вклад легких наполнителей значительно увеличивается. Очень часто наполнители представляют собой пустоты, и тогда можно говорить о пористых слоях или пенах. Еще один вариант – это сборка слоя в виде трехмерной структуры, например гофрированные панели и пространственные решетки из балок или плит. Вероятно, наиболее популярный тип среднего слоя основан на двухмерных клеточных геометриях с крупномасштабными ячейками [7-9]; здесь основной элемент представляет собой гексагональную структуру листа, которая визуально напоминает продукт пчеловодческой промышленности, известный как соты (рисунок 2). Рассматривая применение слоистых структур, не следует забывать и об умных тонкостенных сэндвич-структурах со встроенными пьезоэлектрическими слоями для пассивной или активной вибрации или контроля
звука [10-12].
Рисунок 2 – Сэндвич-панель в виде сот
При исследовании многослойных композитных конструкций и их элементов проведение натурных экспериментов весьма дорого. Поэтому единственным решением является проведение математического моделирования и численных экспериментов для определения поведения элементов с учетом внешних воздействий на основе новых программных продуктов и методов моделирования, отличных от имеющихся в настоящее время. При этом математические модели должны учитывать все особенности поведения многослойных структур и отражать наиболее точно их реальную работу. Это особенно важно при их эксплуатации в условиях динамических возмущений, исследовании устойчивости и свободных колебаний.
К настоящему времени не было создано в достаточной мере разработанного
единообразного математического аппарата для исследования статики и динамики гибких многослойных ортотропных оболочек на прямоугольном плане на основе модифицированной моментной теории как распределённой системы с бесконечным числом степеней свободы с использованием методов нелинейной динамики.
Большой вклад в построение математических моделей тонкостенных оболочек, формулировки гипотез, доказательства существования решений иразработки численных методов их решения внесли С.А. Амбарцумян, И.И.Ворович, Н.Ф. Морозов, В.В. Болотин, В.А. Бабешко, Э.И. Григолюк, Я.М.Григоренко, А.С. Вольмир, Д.Ю. Панов, А.И. Илюшин, А.В. Саченков, Н.Г. Валишвили, Ю.Г. Коноплев, В.А. Крысько, А.В. Крысько, А.А. Ильюшин, В.И. Феодосьев, А.Д. Коваленко, Б.Г. Коренев, А. Синицин, Э. Фридман, М. Био, В. Новацкий, Б. Гейтвуд, Э. Мелан, Г. Паркус, Т. Уилер, Н. Хофф, Д. Уэйнер, Б. Боли, А.Л. Гольденвейзер, В.З. Власов, А.Д. Коваленко, Г.Р. Герц, В.М. Александров, Б.Я. Кантор, Г.Б. Ковнеристов, М.И. Теплый, R.T Fenner и другие.
Несмотря на уже полученные, в том числе и другими учеными, фундаментальные и практические результаты, наблюдается недостаток в фундаментальных исследованиях по изучению статики и динамики гибких ортотропных многослойных оболочек на прямоугольном плане на основе модифицированной моментной теории и кинематических моделей 1-го, 2-го и 3-го приближения с учетом возможных реальных условий их эксплуатации. Это во многом связано со сложностью построения математического описания явлений в таких структурах.
Остаются не решенными следующие вопросы:
1. Построение математической модели многослойной геометрически нелинейной ортотропной оболочки на прямоугольном плане под действием постоянной поперечной нагрузки с учетом кинематических гипотез третьего приближения (математическая модель Шереметьева-Пелеха (М3)), а также математической модели многослойных ортотропных оболочек с учетом межслоевых сдвигов по модели Григолюка-Куликова (М4). 2. Создание алгоритмического и программного обеспечения для
исследования построенных математических моделей (М3; М4), реализация созданного математического обеспечения для моделирования статики гибких многослойных упругих оболочек на прямоугольном плане с учетом поперечных сдвигов.
3. Создание математической модели многослойных ортотропных пластинок с учетом модифицированной моментной теории упругости (кинематическая модель Кирхгофа) и получение точных аналитических решений Навье и Мориса- Леви. Получение аналитических решений с помощью методов Бубнова-Галёркина, Канторовича-Власова, Вайдинера, вариационных итераций с учетом невязки решения по методу Аграновского-Баглая-Смирнова.
4. Не построены математические модели динамики гибких пластин и оболочек с учетом модифицированной моментной теории упругости и не созданы алгоритмы исследования нелинейной динамики гибких размерно-зависимых прямоугольных в плане оболочек с учетом модифицированной моментной теории упругости.
5. Не построены математические модели контактного взаимодействия пластинки, подкрепленной балкой в центре с зазором между ними, при действии поперечной знакопеременной нагрузки, температурных и шумовых полей.
6. Численное исследование построенных математических моделей.
Объектом представленного исследования являются гибкие ортотропные многослойные тонкие оболочки на прямоугольном плане под действием постоянной поперечной нагрузки; многослойные ортотропные пластинки с учетом модифицированной моментной теории упругости; гибкие изотропные однослойные размерно-зависимые тонкие оболочки под действием знакопеременной поперечной нагрузки; пластинки, подкрепленные балкой с зазором между ними, при действии поперечной, знакопеременной нагрузки, температурных и шумовых полей. Такие пластинки и оболочки находят применение в приборостроении, авиастроении, машиностроении, а также в других отраслях промышленности.
Предмет исследований – построение теории нелинейной статики гибких многослойных ортотропных оболочек на прямоугольном плане кинематических моделей, учитывающих поперечные сдвиги: Шереметьева-Пелеха, Григолюка- Куликова; получение точных аналитических, численных решений для многослойных ортотропных прямоугольных в плане оболочек сучетом модифицированной моментной теории упругости; построение теории гибких однослойных изотропных оболочек на основе модифицированной моментной теории на основе кинематической гипотезы Кирхгофа-Лява итеории контактного взаимодействия пластинки, подкрепленной балкой с зазором между ними при действии поперечной, знакопеременной нагрузки, температурных и
шумовых полей.
Целью исследования является математическое моделирование статики
элементов ММС в виде гибких многослойных ортотропных оболочек на прямоугольном плане с учетом межслоевых сдвиговых напряжений, однослойных гибких изотропных микрооболочек с учетом влияния градиента деформации взависимости от размера элемента и изотропной пластинки, подкрепленной балкой с зазором, с учетом их контактного взаимодействия, находящихся в силовых, шумовых, температурных полях.
Построенные математические модели должны наиболее близко учитывать реальную работу таких оболочек. Для этой цели используются кинематические модели Шереметьева-Пелеха, их модификации и Кирхгофа-Лява. Построение этих моделей проводится на основе вариационного принципа Остроградского- Гамильтона и Гамильтона, что дает возможность получить вариационные и дифференциальные уравнения, а также построить вариационно-разностные методы для анализа устойчивости и напряженно-деформируемого состояния статики многослойных симметричных и несимметричных относительно срединной поверхности слоев гибких оболочек; применить для сведения к задаче Коши методы Фаэдо-Галёркина в высших приближениях и конечных разностей по пространственным координатам, а также проанализировать характер нелинейной динамики гибких изотропных оболочек модели Кирхгофа-Лява, полученной на основе модифицированной моментной теории упругости; определить характер колебаний с помощью анализа спектра Ляпуновских показателей.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи: 1. Построение математической модели статики многослойных
геометрически нелинейных ортотропных оболочек на прямоугольном плане под действием постоянной поперечной нагрузки с учетом обобщенной кинематической гипотезы Пелеха-Шереметьева-Григолюка-Куликова и межслоевых сдвиговых напряжений.
2. Получение точных решений для многослойных ортотропных пластинок с учетом модифицированной моментной теории, а также получение аналитических решений с применением методов Канторовича-Власова, вариационных итераций, Вайдинера, с учетом метода невязки решения Аграновского-Баглая-Смирнова и численного метода конечных разностей второго порядка точностей.
3. Создание математической модели нелинейной динамики гибких изотропных прямоугольных в плане оболочек Кирхгофа-Лява с учетом модифицированной моментной теорией упругости.
4. Создание алгоритмического и программного обеспечения для исследования построенных математических моделей, реализующего созданное математическое обеспечение, для моделирования статики гибких многослойных ортотропных упругих оболочек, нелинейной динамики размерно-зависимых гибких прямоугольных в плане оболочек и контактного взаимодействия пластинки, подкрепленной балкой.
5. Исследование влияния количества, симметричного и несимметричного расположения слоев относительно срединной поверхности оболочки, размерно- зависимого параметра, физических и геометрических свойств материала на динамику и статику прямоугольных в плане оболочек.
6. Изучение контактного взаимодействия пластины и балки при действии знакопеременной поперечной нагрузки, температурных и шумовых полей.
Методы исследования. Методы исследования основываются на использовании общей методологии математического моделирования, на математическом аппарате краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений математической физики, функциональном и вариационном анализе, на вариационно-разностных методах, конечно-разностных методах, вариационных методах (Фаэдо-Галёркина), методе анализа спектра Ляпуновских показателей, компьютерной алгебре, численных методах решения дифференциальных уравнений, методах теории объектно-ориентированного программирования. Программное обеспечение разработано на языке программирования С++, MathLab,
MathCAD.
Научная новизна заключается в следующих результатах, выносимых на
защиту:
1.Для задач статики разработаны математические модели гибких
многослойных геометрически нелинейных ортотропных оболочек на прямоугольном плане с учетом модифицированной моментной теории упругости и межслоевого сдвига напряжений в отличие от существующих моделей. Разработан вариационно-разностный метод расчета статики таких оболочек. Для задач динамики разработана математическая модель однослойных микрооболочек (вводится размерно-зависимый параметр, который представляет собой длину, равную квадратному корню из отношения модуля кривизны к модулю сдвига) на прямоугольном плане модели Киргхофа-Лява (п. 1, 4, 5, 8 паспорта специальности 05.13.18).
2. Разработка математических моделей и комплекса программ исследования нелинейной динамики контактного взаимодействия балочно-пластинчатой структуры, состоящей из пластины, подкрепленной балкой с зазором между ними. Разработан эффективный алгоритм расчета для исследования нелинейной динамики гибких изотропных микрооболочек и контактного взаимодействия пластины и балки (п. 4, 5, 8 паспорта специальности 05.13.18).
3. Получены точные аналитические и приближенные, а также численные методы для решения многослойных ортотропных пластин с учетом модифицированной моментной теории упругости (п. 1, 2, 3, 4 паспорта специальности 05.13.18).
4. Разработаны программные комплексы для статики гибких многослойных ортотропных оболочек на прямоугольном плане; нелинейной динамики однослойных гибких микрооболочек и контактного взаимодействия изотропной пластины и балки с учетом контактного взаимодействия, который позволяет проводить комплексное исследование характера колебаний оболочки средствами нелинейной динамики и получать решение с необходимым числом степеней
свободы (п. 4, 5, 8 паспорта специальности 05.13.18).
5. Исследование статической устойчивости гибких многослойных
ортотропных прямоугольных в плане оболочек с учетом межслоевых сдвиговых напряжения показало, что увеличение количества слоев увеличивает несущую способность оболочки. Исследование проводилось для оболочки от 1, 3, 5, 7 и 9 слоев. Сравнение симметричности и несимметричности толщин слоев оболочки относительно срединной поверхности показало, что несущая способность многослойной несимметричной конструкции повышается (п. 4, 5, 8 паспорта специальности 05.13.18).
6.Выявлено, что размерно-зависимого параметра l уменьшает зоны хаотических колебаний микрооболочки, прямоугольной и круглой в плане (п. 4, 5, 8 паспорта специальности 05.13.18).
Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в следующем:
Результаты, представленные в диссертационной работе, вносят вклад вразвитие существующих представлений о статическом и динамическом поведении чувствительных элементов ММС в виде многослойных ортотропных прямоугольных в плане оболочек, изотропных микрооболочек и пластины, подкрепленной балкой.
Практическая значимость диссертационной работы:
Построенные математические модели и комплексы программ представляют собой инструмент исследования, включая корпус прибора и чувствительные элементы МЭМC резонаторов, что позволяет повысить качество проектирования и эффективность разработки новых конструкций, сократить затраты на проведение опытно-конструкторских работ и натурных испытаний, повысить надежность работы указанных изделий при различных внешних воздействиях.
Программные комплексы были использованы в проектно-конструкторской деятельности: 1. АО «Газприборавтоматикасервис» (акт о внедрении (приложение 2)) 2. ООО «Профиль Брянск» (акт о внедрении (придожение 2)).
Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе при чтении лекций и проведении лабораторного практикума по курсам
«Нелинейные дифференциальные уравнения», «Численные методы» (акт
о внедрении в учебный процесс (приложение 3)).
Прикладное значение
Исследования проводились при финансовой поддержке грантов: РНФ (2016- 2018) No 16-19-10290, РНФ (2017-2019) No 17-79-10097, РФФИ (2018-2019) No 18- 38-00878, РФФИ (2018-2020) 18-01-00351А, РНФ (2019-2021) No19-19-00215, РФФИ (2020-2022) No 20-08-00354, Грант Президента РФ (2009-2010) No МК- 3877.2009.8
Достоверность результатов подтверждается корректностью постановки задач и корректностью применения математического аппарата, строгостью созданных математических моделей и применяемых методов исследования, непротиворечивостью фундаментальных положений методологии анализа нелинейной статики и динамики распределенных механических систем, сравнением результатов исследований с признанными результатами, полученными зарубежными и отечественными исследователями. Задачи решаются несколькими методами и рассматриваются как системы с необходимым числом степеней свободы для получения достоверных результатов. Все основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в ведущих российских (из списка ВАК Минобрнауки России), зарубежных журналах (Scopus, Web of Science) и прошли рецензирование, а также были опубликованы 9 статей из квартиля Q1.
Личный вклад
Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. Постановка задач и интерпретация результатов проводились либо лично автором, либо совместно с научным руководителем. Во всех совместных исследованиях автор принимал участие в разработке математической модели, разработке алгоритмов и программных проблемно-ориентированных комплексах.
Автору диссертации принадлежит ведущая роль в построении неклассической теории многослойных пластин и оболочек и однослойных изотропных прямоугольных в плане задачах динамики, создании алгоритмов и комплексов программ для проведения численных экспериментов и обобщении полученных результатов; разработке точных аналитических и численных методов
исследования многослойных ортотропных пластинок с учетом модифицированной
моментной теории упругости.
Положения и результаты, выносимые на защиту:
1. Математические модели гибких многослойных ортотропных пологих на прямоугольном плане оболочек под действием постоянной поперечной нагрузки, описываемых кинематическими моделями Шереметьева-Пелеха и Григолюка- Куликова. Из этих математических моделей как частный случай вытекают математические модели Кирхгофа-Лява и С.П. Тимошенко; математические модели статики многослойных ортотропных прямоугольных пластинок Кирхгофа, математические модели нелинейной динамики однослойных изотропных гибких пологих на прямоугольном плане оболочек Кирхгофа-Лява с учетом модифицированной моментной теории упругости; математические модели нелинейной динамики контактного взаимодействия пластинчато-балочной (Кирхгофа, Эйлера-Бернулли) структуры с зазором между ними с учетом модифицированной моментной теории упругости при действии поперечной знакопеременной нагрузки, температурных и шумовых полей.
2. Вариационно-разностный метод для исследования статической устойчивости пологих гибких ортотропных многослойных прямоугольных в плане оболочек на основе кинематических моделей Шереметьева-Пелеха (М3) и Григолюка-Куликова (М4); точные решения статики для прямоугольных в плане ортотропных пластинок при действии поперечной нагрузки – Навье, Мориса-Леви; методы сведения уравнений в частных производных эллиптических уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям, основанные на идеях Фурье, Бубнова-Галёркина (Канторовича-Власова, вариационных итераций, Вайдинера и метода учета невязки решения методом Аграновского-Баглая-Смирнова); вариационный метод Фаэдо-Галёркина в высших приближениях и метод конечных разностей второго порядка точности для сведения к задаче Коши уравнения в частных производных, полученных для анализа нелинейной динамики оболочек Кирхгофа-Лява с использованием модифицированной моментной теории упругости; методы анализа спектра Ляпуновских показателей.
3. Алгоритмы, реализующие построенные математические модели, результаты математического и компьютерного моделирования по исследованию устойчивости пологих ортотропных многослойных прямоугольных в плане оболочек под действием постоянной поперечной нагрузки; алгоритмы анализа нелинейной динамики однослойных изотропных пологих оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки, нелинейной динамики контактного взаимодействия пластинчато-балочных структур с учетом размерно-зависимых эффектов при действии поперечной знакопеременной нагрузки, температурных
и шумовых полей.
4. Разработан проблемно-ориентированный программный комплекс для
анализа статической устойчивости многослойных ортотропных оболочек, описываемых кинематическими моделями Шереметьева-Пелеха (М3), Григолюка- Куликова (М4) для автоматизированного исследования статической устойчивости пологих гибких ортотропных многослойных прямоугольных в плане оболочек под действием постоянной поперечной нагрузки. Разработан программный комплекс для анализа нелинейной динамики однослойных изотропных прямоугольных в плане оболочек Кирхгофа-Лява и контактного взаимодействия пластинчато- балочных структур (Кирхгофа, Эйлера-Бернулли) с учетом размерно-зависимых эффектов.
5. Проведенный анализ результатов расчета статики многослойных оболочек показывает, что несущая способность многослойной несимметричной конструкции снижается по сравнению с симметричным расположением слоев относительно срединной поверхности, увеличение количества симметрично расположенных слоев увеличивает несущую способность оболочки.
6. Проведенный анализ результатов расчета статики многослойных оболочек в зависимости от физических свойств показывает, что увеличение количества ортотропных слоев уменьшает несущую способность оболочки
7. Проведенный анализ результатов расчета амплитудно-частотных характеристик микрооболочки и микропластинки показывает, что при увеличении толщины и размерно-зависимого параметра уменьшаются зоны хаотические колебания на картах характера колебаний q0 ;  p 
Основные результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях: 1. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных
«Ломоносов 2012», «Ломоносов 2013», «Ломоносов 2015», «Ломоносов 2016»; 2.XII Международная конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (20-25 сентября 2016 г., Казань, Россия); 3. XIV Международная научно-практическая конференция студентов аспирантов и молодых учёных «Молодёжь и современные информационные технологии» (7-11 ноября 2016 г., Томск, Россия); 4. XX Юбилейная международная конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (24-31 мая 2017 г,. Алушта, Крым); 5. 14th International conference Dynamical Systems – Theory and Applications (DSTA 2017), (11-14 декабря 2017 г., Лодзь, Польша); 6. 5th International Conference on Complex Dynamical Systems in Life Sciences: Modeling and Analysis (10-12 Мая, 2018 г., Aveiro, Portugal); 7. XII Международная конференция по Прикладной математике и механике ваэрокосмической отрасли (NPNJ’18) (24-31 мая 2018 г., Крым, Алушта, Россия); 8. XII Международная конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (20-25 сентября 2018 г., Казань, Россия); 9. XII Международная IEEE научно-техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (13-15 ноября 2018 г., Омск, Россия); 10. 15 интернациональная конференция и 4 Польский конгресс механики (PCM- CMM) (12 сентября 2019 г., Краков, Польша); 11. Dynamical Systems – Theory and Applications (DSTA 2019), (2-5 декабря 2019 г., Лодзь, Польша); 12. VI Международная конференция и молодежная школа »Информационные технологии и нанотехнологии» (INTN2020) (26-29 мая 2020 г., Самара, Россия); 13. XIII Международная конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (20-28 октября 2020 г., Казань, Россия);
В законченном виде диссертация докладывалась на межкафедральном семинаре ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством д.ф.-м.н, профессора, Заслуженного деятеля науки и техники РФ Байбурина В.Б.
Результаты работы реализованы при выполнении исследований по грантам: РНФ 16-19-10290 «Математические и алгоритмические основы анализа и синтеза микромеханических датчиков инерциальной информации в условиях динамических возмущений методами нелинейной динамики» (2016-2018); РНФ 17-79-10097 «Математическое моделирование нелинейной динамики и алгоритмические основы анализа истинности детерминированного хаоса в выходных сигналах размерно-зависимых элементов микромеханических датчиков инерциальной информации в температурном поле с учетом контактного взаимодействия» (2017-2018); РФФИ 18-01-00351А «Нелинейная динамика размерно-зависимых цилиндрических оболочек сетчатой структуры» (2018-2020); РФФИ 20-08-00354 «Математическое моделирование статики и динамики MEMS/NEMS резонаторов с учетом физической и геометрической нелинейностей при динамических, шумовых, температурных и радиационных воздействиях» (2020); РНФ 19-19-00215 «Нелинейная динамика компонентов микроэлектромеханических датчиков в экстремальных условиях эксплуатации при наличии возмущающих факторов различной физической природы (электростатические силы, тепловые воздействия и шумовые поля)» (2019,
2020).
Публикации
Результаты диссертационного исследования опубликованы в 23 печатных работах, 3 публикации [171-173] в российских журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых журналов ВАК Минобрнауки России, 12 статей [43, 145, 146, 174-179, 180-182] в ведущих иностранных журналах из перечня Scopus, Web of Science (в том числе 9 статей в журнале из группы Q1, 1 статья в журнале из группы Q2), 6 авторских свидетельств о государственной регистрации программы для ЭВМ [183-188], 4 главы в коллективных монографиях издательства TU of Lodz Press [189-192].
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов исписка использованной литературы из 201 наименования. Общий объем диссертации 191 страниц машинописного текста, включающего 47 рисунков, 30 таблиц, 6 диаграмм.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?

Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

Публикации автора в научных журналах

Review of the methods of transition from partial to ordinary deferential equations: from macro- to nano-structural dynamics

J. Awrejcewicz, V.A. Krysko, L.A. Kalutsky, at al. // Archives of Computational Methods in Engineering 2021 (accepted)Krysko, V.А. Chaotic vibrations of size-dependent flexible rectangular plates / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, I.V. Papkova, at al. // Chaos 2021, Vol. 31, 043119, p 1-Krysko, V.А. On the mathematical modeling of symmetric/asymmetric multi- layer orthotropic shells / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, M.V. Zhigalov, at al. //International Journal of Non-Linear Mechanics. Vol. 120, 2020 p. 1-17 Krysko, V.A. Mathematical modeling of MEMS elements subjected to external forces, temperature and noise, taking account of coupling of temperature and deformation fields as well as a nonhomogenous material structure / V.A. Krysko, J. Awrejcewicz, T.V. Yakovleva, at al. // Journal Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. Vol. 30, 2019; pp. 39

Nonlinear dynamics of rectangular nano-shells

V.A. Krysko // J. Phys.: Conf. Ser. 1745 012100, 2021, с. 1 – Коллективные монографии

Nonlinear dynamics and chaotic synchronization of contact interactions of multi-layer beams

J. Awrejcewicz, M.V. Zhigalov, V.A. Krysko, at al. // Dynamical Systems – Theory / Eds. J. Awrejcewicz, M. Kaźmierczak, P. Olejnik, J. Mrozowski. TU of Lodz Press, 2013, 283-292 (ISBN 978-83-7283-588-8).Krysko, V.A. Theory of size-dependent physically nonlinear Euler-Bernoulli beams in an aggressive medium with account of coupling of temperature and deformationfields / J. Awrejcewicz, T.Y. Yakovleva, E.Y. Krylova, A.O. Sinichkina, V.A. Krysko // Mathematical and Numerical Aspects of Dynamical System Analysis / Eds. J. Awrejcewicz, M. Kaźmierczak, J. Mrozowski, P. Olejnik, DAB&M of TUL Press, Lodz, 2017, 19-30 (ISBN 978-83-935312-6-4).

Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее

Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее

Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее

Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

Хочешь уникальную работу?

Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

Учился на мат.факе ТвГУ. Любовь к математике там привили на столько, что я, похоже, никогда не перестану этим заниматься! Сейчас работаю в IT и пытаюсь найти время на... Читать все

Учился на мат.факе ТвГУ. Любовь к математике там привили на столько, что я, похоже, никогда не перестану этим заниматься! Сейчас работаю в IT и пытаюсь найти время на продолжение диссертационной работы... Всегда готов помочь! ;)

#Кандидатские #Магистерские

164 Выполненных работы

Большой опыт работы. Кандидаты химических, биологических, технических, экономических, юридических, философских наук. Участие в НИОКР, Только актуальная литература (пос... Читать все

#Кандидатские #Магистерские

551 Выполненная работа

Занимаю 1 место в рейтинге исполнителей по категориям работ "Научные статьи" и "Эссе". Пишу дипломные работы и магистерские диссертации.

#Кандидатские #Магистерские

5125 Выполненных работ

Я научный сотрудник федерального музея. Подрабатываю написанием студенческих работ уже 7 лет. 3 года назад начала писать диссертации. Работала на фирмы, а так же помог... Читать все

Я научный сотрудник федерального музея. Подрабатываю написанием студенческих работ уже 7 лет. 3 года назад начала писать диссертации. Работала на фирмы, а так же помогала студентам, вышедшим на меня по рекомендации.

#Кандидатские #Магистерские

37 Выполненных работ

Преподаватель одного из лучших ВУЗов страны, научный работник, редактор научного журнала, общественный деятель. Пишу все виды работ - от эссе до докторской диссертации... Читать все

Преподаватель одного из лучших ВУЗов страны, научный работник, редактор научного журнала, общественный деятель. Пишу все виды работ - от эссе до докторской диссертации. Опыт работы 7 лет. Всегда на связи и готова прийти на помощь. Вместе удовлетворим самого требовательного научного руководителя. Возможно полное сопровождение: от статуса студента до получения научной степени.

#Кандидатские #Магистерские

47 Выполненных работ

Помогаю с выполнением курсовых проектов и контрольных работ по электроснабжению, электроосвещению, электрическим машинам, электротехнике. Занимался наукой, писал стать... Читать все

#Кандидатские #Магистерские

19 Выполненных работ

Пишу качественные выпускные квалификационные работы и магистерские диссертации. Опыт написания работ - более восьми лет. Всегда на связи.

#Кандидатские #Магистерские

28 Выполненных работ

Профессиональный журналист, филолог со стажем более 10 лет. Имею профильную диссертацию по специализации "Радиовещание". Подробно и серьезно разрабатываю темы научных... Читать все

Профессиональный журналист, филолог со стажем более 10 лет. Имею профильную диссертацию по специализации "Радиовещание". Подробно и серьезно разрабатываю темы научных исследований, связанных с журналистикой, филологией и литературой

#Кандидатские #Магистерские

33 Выполненных работы

Здравствуйте! Опыт написания работ более 12 лет. За это время были успешно защищены более 2 500 написанных мною магистерских диссертаций, дипломов, курсовых работ. Явл... Читать все

Здравствуйте! Опыт написания работ более 12 лет. За это время были успешно защищены более 2 500 написанных мною магистерских диссертаций, дипломов, курсовых работ. Являюсь действующим преподавателем одного из ВУЗов.

#Кандидатские #Магистерские

177 Выполненных работ