Математическое моделирование функционирования системы биомаркеров дегенеративных заболеваний

Во введении обосновывается актуальность темы исследований, представлен
обзор литературы, формулируются цель, задачи, научная новизна работы и поло-
жения, выносимые на защиту.
Глава 1 посвящена основным вопросам методологии математического моде-
лирования функционирования системы общего вида р53–белок-ингибитор–мик-
роРНК, для которой такие системы как p53–Mdm2, p53–Wip1, p53–Sirt1–miR-34a
и другие являются частными случаями. Задача рассматривается в упрощенной по-
становке: в системе действует петля отрицательной обратной связи р53–белок-
ингибитор, а микроРНК являются лишь пассивной мишенью р53 (прямая поло-
жительная связь). Согласно лабораторным данным, для целого ряда микроРНК,
включая наиболее изученное семейство miR-34a/b/c, указанный вид связи может
быть принят как достоверный или как модельный.
В параграфе 1.1 в рамках достаточно общего подхода формулируется мини-
мальная математическая модель:
1
= 1 − 2 ( 1 ( ), 2 ( ), ) − 3 1 ( ),(1)

2
= 1 ( 1 ( − 1 ), 2 ( − 1 ), , ) − 2 2 ( ),(2)

3
= 1 + 2 1 ( − 2 ) − 3 3 ( ).(3)

Здесь и далее 1 , 2 , 3 – уровни белка р53, белка-ингибитора р53 (или их актив-
ных форм) и микроРНК соответственно; – время; 1 и 1 – константы скорости
генерации белка р53 и микроРНК; 2 – константа скорости деградации р53 под
влиянием белка-ингибитора; 3 , 2 , 3 – константы скорости деградации р53,
белка-ингибитора и микроРНК; 1 и 2 – константы скорости p53-зависимой ге-
нерации белка-ингибитора и микроРНК; параметрам и отводится роль ре-
гуляторов, обеспечивающих «тонкую настройку» уровней взаимосвязи участни-
ков сети; параметры 1 и 2 определяют время запаздывания ответа элемента си-
стемы на воздействие. Каждое уравнение представляет собой балансное соотно-
шение, отражающее вклад в кинетику белков и микроРНК механизмов генерации
и деградации (эти термины подразумевают как конститутивные процессы, так и
процессы, обусловленные влиянием каких-либо не описанных явно участников
сигнального пути p53). Особо выделяются процессы взаимодействия элементов
системы – p53-зависимая генерация/активация белка-ингибитора и микроРНК и
деградация/инактивация p53 под влиянием белка-ингибитора). Их математиче-
ское описание основано на использовании функции f, принадлежащей классу био-
кинетических моделей Гольдбетера–Кошланда2:
( , , ) = ( + + − √( + + )2 − 4 ),(4)
− ( , , )
( , , , ) =.(5)
+ − ( , , )
Начальные данные для системы (1)–(3) задаются в виде: ( ) = ( ), = 1,2,3,
∈ [− , 0], = max ( 1 , 2 ). При обезразмеривании системы (1)–(5) выбор мас-
штаба времени определяется условиями конкретного моделируемого процесса.
Масштабы уровней белков и микроРНК полагаются согласованными друг с дру-
гом и с принятыми в цикле экспериментальных исследований, выполненных в
Гарвардской медицинской школе, включая работу3. Отметим, что уравнения (1)–
(2) заимствованы из работы2, а уравнение (3) – из работы4, где они используются
для описания системы p53–Mdm2 и динамики miR-34a соответственно.
Численные алгоритмы решения прямой и обратной коэффициентной задачи
для нелинейных систем функционально-дифференциальных уравнений с запаз-
дыванием представлены в параграфе 1.2. В основе алгоритма решения прямой за-
дачи лежит метод последовательного интегрирования (метод шагов). Это позво-
ляет рассматривать основную начальную задачу5 как задачу Коши и использовать
для ее решения как стандартные численные методы из семейств Адамса, Гира и
Рунге–Кутты, так и одну из модификаций последнего 6, предназначенную для ре-
шения уравнений с запаздыванием. В силу нелинейности системы (1)–(5) при ее
численном решении реализуется идея метода Зейделя.
Для решения обратных коэффициентных задач привлекается стохастический
генетический алгоритм BGA7 с функционалом, определяющим меру близости (в
смысле наименьших квадратов) решения прямой задачи к экспериментальным
Tiana G. et al. // Eur. Phys. J. B. – 2002. – V. 29. – P. 135–140.
Batchelor E. et al. // Molecular Cell. – 2008. – V. 30. – № 3. – P. 277–289.
Lai X. et al. // Methods Mol. Biol. – 2012 –V. 880. – P. 87–108.
Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся
аргументом. – М.: Наука, 1971. – 296 с.
Белых Л. Н. Анализ математических моделей в иммунологии. – М.: Наука, 1988. – 192 с.
Muhlenbein H., Schlierkamp-Voosen D. // Evolutionary Computation. – 1993. – V. 1. – № 1. – P. 25–49.
данным. Алгоритм решения задачи заключается в многократном запуске BGA и
определении оптимального набора параметров из центральных 50% индивидуу-
мов достаточно представительной выборки с учетом соображений адекватности
биологии процесса. Общая стратегия параметрической идентификации моделей
состоит в оптимальном сочетании данных из литературных источников (предпо-
чтение отдается оценкам, основанным на экспериментальных данных) и решений
обратных коэффициентных задач, в том числе полученных на предыдущих этапах
моделирования условий разных лабораторных экспериментов. Разработанные
численные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ.
В параграфе 1.3 представлены методические расчеты. Как и в работе2, а) рас-
сматривается модельная задача о функционировании петли отрицательной обрат-
ной связи p53–Mdm2 в норме и при гипотетическом стрессовом воздействии, вы-
водящем систему из состояния равновесия; б) дострессовое состояние системы
(условная норма) определено базальным набором параметров уравнений (1)–(2),
принятым на основе экспериментальных оценок; в) реакция системы на стресс в
виде периодических колебаний моделируется изменением одного или нескольких
параметров из этого набора. Значения параметров уравнения (3) оценивались из
соображений соответствия наблюдаемой в лабораторных экспериментах реакции
микроРНК на изменение p53. Получено согласие численного решения с аналити-
ческим стационарным решением и с численными решениями других авторов. Вы-
полнен численный анализ решений на последовательности конечно-разностных
сеток и сопоставительный анализ численных методов решения задачи Коши при
1 = 2 = 0 и с учетом запаздывания. Отмечено, что методы типа предиктор-кор-
ректор решения задачи Коши, основанные на методах из семейства Адамса, ока-
зались более предпочтительными для рассматриваемого класса задач. Показано,
что, не нарушая общности, начальные условия могут задаваться как функции «ис-
тории», тождественно равные нулю, если задача не требует их согласования с экс-
периментальными данными.
В параграфе 1.4 представлены численные решения ряда задач, в которых мо-
дель (1)–(5) применяется к описанию лабораторных данных. Результаты расчетов
используются для параметрической настройки упрощенной базовой модели
функционирования системы общего вида p53–белок-ингибитор–микроРНК.
С использованием модели (1)–(2), (4)–(5) выполнено численное моделирова-
ние и получено согласие с экспериментальными данными 8 о кинетике р53 и
Mdm2 в раковых клетках линии U2OS с p53 дикого типа при относительно слабом
и сильном воздействии противоопухолевого препарата (рис. 1а). Показано, что
относительно малая доза этопозида (1 мкмоль/л) вызывает слабый монотонный
рост уровня р53 или импульсный режим с одним или несколькими пиками, а при
повышении дозы (до 100 мкмоль/л) наблюдается резкий рост уровня p53 на фоне
снижения регуляторной функции Mdm2. Таким образом, впервые с привлечением
экспериментальных данных показано, что модель (1)–(2), (4)–(5) описывает фун-
даментальный механизм «бимодального» переключения системы со сценария
нормального функционирования и реагирования на слабый стресс на сценарий с
высоким риском запуска генетической программы смерти раковых клеток. На
Chen X. et al. // BMC Biology. – 2013. – V. 11. – Article No. 73.
примере этой задачи наиболее подробно представлены результаты методических
исследований эффективности работы алгоритма BGA.
С точки зрения поставленных в настоящей главе задач наиболее важное место
отводится результатам применения модели (1)–(2), (4)–(5) к описанию экспери-
ментальных данных3. В работе3 продемонстрирован наиболее широкий диапазон
состояний биологической системы p53–Wip1 в раковых клетках с p53 дикого типа
при воздействии гамма-облучением. В численных экспериментах показано
(рис. 1б), что стационарные и периодические решения (неподвижные предельные
точки и предельные циклы в фазовом пространстве (p53, Wip1)) согласуются с
данными3, имея тот же диапазон изменения фазовых переменных (уровней бел-
ков). При этом все состояния были получены в расчетах в окрестности значений
параметров из обезразмеренного базального набора, согласованного с определен-
ным ранее2 для системы p53–Mdm2.
С применением модели (1)–(5) выполнено численное моделирование функци-
онирования системы p53–Sirt1–miR-34a. Получено согласие с эксперименталь-
ными данными9 по кинетике p53, Sirt1, miR-34a при фиброзе печени у крыс (in
vivo). Результаты моделирования находятся в полном согласии с ранее описан-
ными тенденциями изменения уровней p53 и его белков-ингибиторов, сигнализи-
рующими о риске массовой гибели клеток. С использованием лабораторных дан-
ных10 показано, что модель (1)–(5) адекватно описывает наблюдаемый in vitro от-
клик miR-34a на принудительную активацию р53.
абв

Рис. 1. Сопоставление экспериментальных измерений3,8,10,11 и расчетных данных: а – ки-
нетика p53 (линии 1) и Mdm2 (линии 2); б – состояния системы p53–Wip1; в – относи-
тельное изменение уровней miR-34a (I–IV) и miR-145 (V) при активации р53.

Сопоставительный анализ результатов моделирования позволил выявить общ-
ность в значениях параметров (с точностью до принятых при обезразмеривании
масштабов) и установить набор параметров базовой модели (1)–(5), определяю-
щий усредненное базальное состояние системы. Исходя из этого и учитывая ста-
тистические оценки экспериментальных данных3, в трехмерном фазовом про-
странстве состояний удалось выделить область условной нормы N (от normal) с
относительно низкими уровнями р53, микроРНК и ингибитора p53 и две области,
определяющие критические состояния системы. Область состояний C (от cancer)
с высоким риском развития рака характеризуется относительно низким уровнем
p53 и микроРНК при высоком уровне ингибитора, а область состояний D (от
Tian X.-F. et al. // PLoS ONE. – 2016. – V. 11. – Article No. e0158657.
Bisio A. et al. // BMC Cancer. – 2013. – V. 13. – Article No. 552.
degeneration) с риском массовой гибели клеток – достаточно высоким уровнем
р53 и микроРНК при низком уровне ингибитора. В окрестности базальных значе-
ний параметров (соответствующих состоянию условной нормы) для системы (1)–
(5) выполнен анализ чувствительности модели к малым возмущениям парамет-
ров, численно получены линии нейтральности и карты динамических режимов в
плоскости параметров ( 1 , ) и ( 1 , ).
Разработанная и откалиброванная модель общего вида (1)–(5) применялась
для анализа состояний систем p53–miR-34a, miR-34b, miR-34c или miR-145 в кле-
точных линиях разных форм рака и в клетках мозга с признаками болезни Альц-
геймера, а также для анализа отклика микроРНК на активацию р53 10,11, которая
рассматривается как способ запуска программы апоптоза раковых клеток. По
этим показателям получено хорошее согласие с экспериментальными наблюде-
ниями (рис. 1в). Показано, что модель (1)–(5) может быть использована как ин-
струмент для оценки диагностического потенциала микроРНК при широком
круге дегенеративных заболеваний, а также для анализа эффективности меха-
низма р53-зависимой активации микроРНК как терапевтического фактора при он-
кологических заболеваниях.
В главе 2 исследуется важный вопрос о связи разработанных в главе 1 мини-
мальных моделей p53–ингибитор и p53–ингибитор–микроРНК, основанных на
использовании функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием,
с моделями в виде систем ОДУ высокой размерности, описывающими функцио-
нирование этих систем как процесс с множеством быстропротекающих стадий
передачи биохимического сигнала. В параграфах 2.1–2.3 рассматривается базовая
минимальная модель биологической системы p53–ингибитор. Общий вид си-
стемы (1)–(2) позволяет воспользоваться предельной теоремой12 при построении
многостадийной модели на основе известной идеи гипотетических генных сетей
с линейным представлением промежуточных стадий:
̃1
= 1 − 2 ( ̃1 , , ) − 3 ̃1 ,(6)

1 −1
= 1 ( ̃1 , , , ) − ,(7)
1 1
− 1
=( −1 − ),( = 2, … , − 1)(8)
1
− 1
= − 2 ,(9)
1 −1
где 1 ( ), … ( ) – дополнительные переменные, описывающие кинетику гипо-
тетических промежуточных стадий функционирования системы p53–белок-
ингибитор, – количество стадий. В согласии с предельной теоремой12 предпо-
лагается, что при нулевых начальных условиях последовательности функций
{ ̃1 ( )} и { ( )} (верхний индекс указывает общее количество стадий, нижний –
номер компоненты решения при конкретном ), при → ∞ сходятся равномерно
к компонентам решения 1 ( ) и 2 ( ) системы уравнений с запаздыванием (1)–
(2): | ̃1 ( ) − 1 ( )| → 0 и | ( ) − 2 ( )| → 0.
Sachdeva M. et al. // PNAS. – 2009. – V. 106. – № 9. – P. 3207–3212.
12Лихошвай В. А. и др. // Сиб. журн. индустр. математики. – 2004. – Т. 7. – № 1 (17). – С. 73–94.
При численной реализации процесса сходимости и связанного с ним решения
задачи Коши для систем ОДУ высокой размерности повышаются требования к
методу ее решения. В ходе численных экспериментов, демонстрирующих связь
двух постановок задач, решалась последовательность задач Коши для системы
(6)–(9), в которой число промежуточных стадий наращивалось от 4 до 4 ∙ 105 .
Представленный ранее численный алгоритм и методы показали свою достаточно
высокую эффективность на всем рассмотренном интервале значений . Дополни-
тельно на основе идеи полунеявной разностной схемы 1-го порядка, предложен-
ной в работе13 в качестве эффективного инструмента численного решения авто-
номных систем дифференциальных уравнений большой размерности ( ≫ 10),
разработана новая разностная схема. Она сводит решение нелинейной системы
ОДУ вида (6)–(9) к аналитическому решению трех СЛАУ и численному решению
системы двух нелинейных алгебраических уравнений. Расчеты показали, что
схема имеет 1-й порядок точности, дает определенные преимущества по точности
при > 1000 и полностью подтверждает результаты анализа решений, получен-
ные с привлечением других численных методов.
С привлечением ряда численных методов реализована известная вычисли-
тельная схема анализа13, которая предполагает не только контроль выполнения
условий предельной теоремы (при конечных n и h), но и углубленную проверку
общности качественных свойств решений – сходимость линий нейтральности,
разделяющих плоскости параметров ( 1 , ) и ( 1 , ) на область, в которой ста-
ционарное решение асимптотически устойчиво, и область периодических колеба-
ний решений, при достаточно больших . При этом впервые показано, что в чис-
ленных экспериментах с ростом погрешность «предельного» перехода убывает
по степенному закону − ( ∈ [0.5, 1]), согласующемуся с теоретической оцен-
кой12, при условии ℎ ≤ / , где – параметр запаздывания, ℎ – шаг конечно-
разностной сетки, значение близко к 1. Невыполнение условия приводит к
нарушению сходимости процесса «предельного» перехода вследствие дисбаланса
между погрешностями разного происхождения, из которых складывается общая
погрешность «предельного» перехода при конечных значениях шага сетки. В чис-
ленных экспериментах показано, что полученное условие согласуется с извест-
ными результатами анализа «предельного» перехода для математической модели
многостадийного процесса синтеза вещества12, где в расчетах принималась близ-
кая к оптимальной стратегия с переменным шагом сетки ℎ = / .
Уточненная вычислительная схема анализа «предельного» перехода от мо-
дели (6)–(9) к модели (1)–(2) реализована также в задаче о функционировании си-
стемы р53–Mdm2 в раковых клетках при описании экспериментальных данных8.
Результаты анализа подтверждают выводы, полученные для откалиброванной мо-
дели общего вида. Дополнительно выполнено численное решение обратной ко-
эффициентной задачи для системы ОДУ (6)–(9), причем параметры модели и ко-
личество промежуточных стадий n подлежали определению. Алгоритм BGA про-
демонстрировал хорошую работоспособность, а его результаты указывают на
близость (в смысле наименьших квадратов) численного решения к эксперимен-
тальным данным8 уже при ≈ 24. В параграфе 2.4 для двух вариантов моделей
Фадеев С. И. и др. // Сиб. электронные матем. изв. – 2010. – Т. 7. – С. 467–475.
системы типа p53–белок-ингибитор–микроРНК с запаздыванием предложены
многостадийные модели в виде системы ОДУ высокой размерности и численно
показана их связь с моделями, основанными на дифференциальных уравнениях с
запаздывающими аргументами, при нулевых начальных условиях.
Сформулированные в главе 2 задачи можно рассматривать как моделирование
многостадийного процесса на макро- (модели с запаздыванием) и микроуровнях
(модели на основе ОДУ, учитывающие быстро протекающие промежуточные ста-
дии) с одинаковыми конечными состояниями, а установленные в ходе анализа
связи моделей – как отражение того факта, что при определенных условиях для
адекватного моделирования процессов на макроуровне не требуется полного зна-
ния механизмов функционирования системы на ее микроуровнях 14.
Глава 3 посвящена разработке новой базовой модели функционирования си-
стемы р53–белок-ингибитор–микроРНК с положительной обратной связью с
р53–микроРНК, которая реализуется через воздействие микроРНК на белок-ин-
гибитор. В параграфе 3.1 представлена иерархия четырех математических моде-
лей функционирования системы р53–белок-ингибитор–микроРНК (включая ба-
зовую модель главы 1), различающихся видом кинетических моделей взаимодей-
ствия р53–микроРНК, а также наличием или отсутствием обратной связи мик-
роРНК–p53. В параграфах 3.2–3.3 выполнена их калибровка, численный анализ
качественных свойств и анализ чувствительности. При сопоставлении с доста-
точно широким набором экспериментальных данных все модели показали свою
адекватность и достаточно высокую эффективность. Однако наиболее полный
набор состояний системы р53–микроРНК, наблюдаемых in vitro, удалось описать
лишь с привлечением следующей системы уравнений, которая принята в качестве
новой базовой модели функционирования системы р53–ингибитор–микроРНК:
1
= 1 − 2 ( 1 ( ), 2 ( ), ) − 3 1 ( ),(10)

2
= 1 ( 1 ( − 1 ), 2 ( − 1 ), , ) − 2 2 ( ) (11)

− 3 ( 2 ( − 3 ), 3 ( − 3 ), ),
3
= 1 + 2 ( 1 ( − 2 ), ( 3 ( − 2 ), ) − 3 3 ( ). (12)

где 3 – константа скорости микроРНК-зависимого подавления генерации/акти-
вации белка-ингибитора, 3 – время запаздывания реакции белка-ингибитора на
изменение состояния микроРНК; и обеспечивают регуляцию уровня взаи-
мосвязи элементов системы; остальные обозначения остаются прежними. Чис-
ленно показано, что функционирование петли положительной обратной связи мо-
жет приводить к возникновению периодических и квазипериодических колеба-
ний, найдены соответствующие линии нейтральности. Минимальность модели
(10)–(12) (по отношению к рассматриваемой иерархии моделей) и предпочтитель-
ность функции типа Гольдбетера–Кошланда для описания взаимодействий р53–
микроРНК и микроРНК–ингибитор наиболее ярко иллюстрируют результаты со-
поставления с данными лабораторных экспериментов15.
Демиденко Г. В. и др. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2004. – Т. 44. – № 12. – С. 2276–2295.
Fornari F. et al. // Molecular Cancer Research. –2014. – V. 12. – P. 203–216.
В параграфе 3.4 новая базовая модель применяется для анализа общих законо-
мерностей функционирования системы p53–ингибитор–микроРНК. В центре вни-
мания оказались воздействия на систему, представляющие интерес с точки зрения
гипотетических вариантов противораковой терапии. Показана потенциально вы-
сокая эффективность подавления белка-ингибитора p53 одновременно с двух сто-
рон – сдерживанием положительного влияния p53 и усилением регуляторной
функции микроРНК. Показано, что такое воздействие гипотетически может при-
водить к синергическому эффекту гиперактивации петли положительной обрат-
ной связи p53–микроРНК. Это подтверждается рядом экспериментальных иссле-
дований. Отметим также, что синергический эффект является фундаментальным
свойством больших систем (в широком смысле), особенно систем с петлей поло-
жительной обратной связи, поэтому наличие такого свойства у базовой мини-
мальной модели является ее позитивной характеристикой.
Глава 4 посвящена применению базовой модели и широкого круга экспери-
ментальных данных для исследования закономерностей функционирования си-
стемы p53–белок-ингибитор–микроРНК и уточнения роли и значимости мик-
роРНК. В параграфе 4.1 приведена исходная постановка задачи.
При моделировании рассматриваются две группы экспериментальных иссле-
дований. Для первой из них основной задачей является анализ вариантов проти-
вораковых терапевтических стратегий, состоящих в принудительной активации
сигнального пути р53 для запуска терминальных программ клеточного старения
и апоптоза. Результаты численного анализа представлены в параграфах 4.2–4.3.
В параграфе 4.2 с привлечением экспериментальных данных 16 исследуется
механизм реагирования системы p53–Wip1–miR-16 в раковых клетках на повре-
ждение ДНК, вызванного ионизирующим облучением, которое применяется при
радиотерапии. Известно, что микроРНК связываются с белком как напрямую, так
и через мРНК этого белка. Предложена модификация базовой модели, учитыва-
ющая влияние miR-16 на белок через мРНК Wip1. Сопоставление решений базо-
вой модели (сплошные линии на рис. 2а) и ее модификации (маркированные ли-
нии), с данными in vitro16 позволяет сделать вывод об адекватности подхода, при-
нятого в базовой модели. Результаты численного анализа подтверждают экспери-
ментальные данные о сверхэкспрессии микроРНК как способе подавления Wip1.
Продемонстрирован синергический эффект, связанный с функцией miR-16 как
регулятора Wip1 и его способностью запустить гиперактивацию петли положи-
тельной обратной связи p53–микроРНК.
В параграфе 4.3 с применением базовой модели разработана новая модель и
выполнено численное моделирование функционирования системы р53–Mdm2–
miR-34a–miR-192–miR-194–miR-215–р21 в норме и в условиях стресса. Показано
(рис. 2б), что модель и генетический алгоритм BGA достаточно хорошо выявляют
особенности кинетики белков и одновременно нескольких микроРНК, наблюдае-
мой в лабораторных экспериментах17 при воздействии противоопухолевым пре-
паратом нутлин на клетки множественной миеломы. Продемонстрирован слож-
ный механизм функционирования системы p53–ингибитор–микроРНК, который
Zhang X. et al. // Cancer Research. – 2010. – V. 70. – P. 7176–7186.
Pichiorri F. et al. // Cancer Cell. – 2010. – V. 18. – P. 367–381.
включает в себя, с одной стороны – способность к синергическому эффекту гипе-
рактивации петли положительной обратной связи p53–микроРНК посредством
подавления функции ингибитора p53, а с другой – аддитивный эффект гиперак-
тивации p53 одновременно несколькими микроРНК, включая miR-34 (это нашло
подтверждение в in vitro экспериментах18). Значимость свойства аддитивности со-
стоит в том, что, в определенной мере, оно дает теоретическое обоснование уже
воспринятой на практике перспективе использования сразу нескольких p53-
зависимых микроРНК для повышения точности диагностики или для возможного
усиления терапевтического воздействия при дегенеративных заболеваниях. По-
казана неравноправность участия разных микроРНК в аддитивном эффекте.
абв

Рис. 2. Кинетика p53, ингибиторов и микроРНК: (а) в клетках U2OS остеосаркомы чело-
века; (б) в клетках множественной миеломы при воздействии нутлина;
(в) при фиброзе печени у крыс (1 – синергический эффект гиперактивации р53 и мик-
роРНК, 2 – отсутствие оксидативного стресса, 3 – ослабление влияния miR-34a на Sirt1).
Маркеры – экспериментальные данные16,17, линии – модели.

Вторая группа рассматриваемых экспериментальных данных направлена на
изучение патологических механизмов активации р53 под влиянием оксидатив-
ного стресса, которая характерна для многих дегенеративных процессов и явля-
ется причиной массовой гибели нормальных клеток. Предложена модификация
базовой модели, в которой уровень оксидативного стресса вводится в модель как
параметр состояния системы, находящийся в положительной обратной связи с
уровнем активного p53. В параграфах 4.4–4.5 проведено численное моделирова-
ние функционирования системы p53–Sirt1–miR-34a в условиях оксидативного
стресса в эпителиальных клетках бронхов человека (BEAS2B)19, а также в гепато-
цитах крыс после введения препарата, инициирующего оксидативный стресс и
фиброз печени9. В параграфе 4.6 выполнено численное исследование функциони-
рования системы p53–Sirt1–miR–Bax в клетках мозга трансгенных мышей линии
Ts65Dn20 (лабораторной модели синдрома Дауна у человека). Численные экспе-
рименты показывают, что синергический эффект гиперактивации петли положи-
тельной обратной связи р53–микроРНК, который обусловлен одновременным
воздействием оксидативного стресса и отрицательного влияния микроРНК на бе-
лок Sirt1 (линия 1 на рис. 2в), является одним из ключевых факторов патогенеза
дегенеративных заболеваний. Отсюда следует, что ингибирование регуляторной
Mansoori B. et al. // Genes. – 2021. – V. 12. – Iss. 2. – Article No. 267.
Baker J. R. et al. // Scientific Reports. – 2016. –V. 6. – Article No. 35871.
Tramutola A. et al. // J. Alzheimer’s Dis. – 2016. – V. 52. – № 1. – P. 359–371.
функции микроРНК может быть эффективным способом предотвращения фиб-
розного поражения легких и печени или снижения когнитивных потерь из-за по-
вышенной склонности нейронов к самоликвидации через механизм p53-
зависимого апоптоза при синдроме Дауна.
В результате проведенного в параграфах 4.2–4.6 численного исследования ки-
нетики системы р53–белок-ингибитор–микроРНК в норме и под влиянием иони-
зирующего облучения, противоракового препарата или оксидативного стресса
получены данные, которые явно демонстрируют действие механизма «бимодаль-
ного» переключения сценария нормального функционирования на сценарий ги-
перактивации p53 и микроРНК в условиях стресса. Полученные оптимальные
наборы параметров согласуются с базальным набором, принятым для базовой мо-
дели, а изменения их значений в каждом эксперименте в достаточной мере соот-
ветствуют моделируемым воздействиям.
В параграфе 4.7 на основе анализа экспериментальных данных и всех резуль-
татов моделирования сначала уточняются принятые в главе 1 границы условной
нормы для системы p53–микроРНК, а затем они используются для приближенной
оценки вероятности рассогласования в диагностике дегенеративных заболеваний
на основе р53 и р53-зависимых микроРНК.

В заключении сформулированы основные результаты настоящей работы:
1. Разработаны, реализованы в виде комплекса программ и применены к реше-
нию широкого круга задач эффективные численные алгоритмы, ориентиро-
ванные на решение прямых и/или обратных коэффициентных задач для нели-
нейных систем функционально-дифференциальных уравнений с запаздыва-
нием и систем ОДУ высокой размерности, возникающих при математическом
моделировании биокинетических процессов и гипотетических генных сетей.
2. Разработана новая минимальная базовая математическая модель функциони-
рования биологической системы общего вида р53–белок-ингибитор–мик-
роРНК (отрицательная обратная связь p53–белок-ингибитор и положительная
обратная связь p53–микроРНК, реализующаяся через воздействие микроРНК
на белок-ингибитор), основанная на известной биокинетической модели типа
Гольдбетера–Кошланда и функционально-дифференциальных уравнениях с
запаздывающими аргументами.
3. Для упрощенного варианта биологической системы и ряда ее моделей, осно-
ванных на использовании дифференциальных уравнений с запаздыванием,
численно показана связь с моделями в виде системы ОДУ высокой размерно-
сти, которые описывают функционирование системы как многостадийный
процесс передачи биохимических сигналов. Получено согласие с результа-
тами известных теоретических исследований. Уточнена известная вычисли-
тельная схема анализа предельного перехода от системы ОДУ высокой раз-
мерности к уравнению с запаздыванием.
4. Разработана иерархия математических моделей и выполнено численное моде-
лирование функционирования ряда наиболее важных сегментов проапоптоз-
ного сигнального пути p53 с характерным типом связей – отрицательной об-
ратной связью p53–белок-ингибитор и положительной обратной связью p53–
микроРНК, реализующейся через воздействие микроРНК на белок-ингибитор
– при дегенеративных заболеваниях, стрессовых воздействиях облучением и
химиопрепаратами.
5. С привлечением разработанной иерархии математических моделей и широ-
кого круга экспериментальных данных исследованы общие закономерности
функционирования систем вида p53–белок-ингибитор–микроРНК, определя-
ющие особую роль и значение p53-зависимых микроРНК как диагностических
биомаркеров и терапевтических мишеней при дегенеративных заболеваниях.
На основе результатов этих исследований даны реалистичные оценки надеж-
ности микроРНК-диагностики нормы и дегенеративных заболеваний.

Основные публикации по теме работы
Публикации в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ:
1. Воропаева, О. Ф. Численный анализ перехода от уравнения с запаздыванием к
системе ОДУ в математической модели сети онкомаркеров / О. Ф. Воропаева,
А. О. Козлова, С. Д. Сенотрусова // Вычислительные технологии. – 2016. –
Т. 21. – № 2. – С. 12–25.
2. Воропаева, О. Ф. Дерегуляция p53-зависимых микроРНК: результаты матема-
тического моделирования / О. Ф. Воропаева, С. Д. Сенотрусова, Ю. И. Шокин //
Матем. биология и биоинформатика. – 2017. – Т. 12. – № 1. – С. 151–175.
3. Воропаева, О. Ф. Переход от уравнения с запаздыванием к системе обыкновен-
ных дифференциальных уравнений в модели сети онкомаркеров / О. Ф. Воропа-
ева, С. Д. Сенотрусова // Математическое моделирование. – 2017. – Т. 29. – № 9.
– С. 135–154.
4. Voropaeva, O. F. Numerical investigation of diagnostic properties of p53-dependent
microRNAs / O. F. Voropaeva, S. D. Senotrusova, Y. I. Shokin // RJNAMM. – 2017. –
Vol. 32. – No. 3. – P. 203–213.
5. Сенотрусова, С. Д. Математическое моделирование функционирования поло-
жительной связи в системе онкомаркеров р53–микроРНК / С. Д. Сенотрусова,
О. Ф. Воропаева // СибЖВМ. – 2019. – Т. 22. – № 3. – С. 325–344.
6. Воропаева, О. Ф. Гиперактивация сигнального пути р53–микроРНК: математи-
ческое моделирование вариантов противоопухолевой терапии / О. Ф. Воропаева,
П. Д. Лисачев, С. Д. Сенотрусова, Ю. И. Шокин // Матем. биология и биоинфор-
матика. – 2019. – Т. 14. – № 1. – С. 355–372.
7. Воропаева, О. Ф. Применение минимальных математических моделей дина-
мики сигнального пути белка р53–микроРНК к анализу лабораторных данных /
О. Ф. Воропаева, С. Д. Сенотрусова, Ю. И. Шокин // Вычислительные техноло-
гии. – 2020. – Т. 25. – № 6. – С. 4–49.
Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ:
8. Сенотрусова, С. Д. Программа для расчета динамики онкомаркеров р53 и
Mdm2 и оценки реакции р53-зависимых микроРНК на стрессовые воздействия /
С. Д. Сенотрусова, О. Ф. Воропаева. – Свидетельство о государственной реги-
страции программы для ЭВМ № 2018612326 от 15.02.2018 г.
Публикации в трудах международных и всероссийских конференций:
9. Сенотрусова, С. Д. Численное моделирование динамики сети онкомаркеров
p53–микроРНК / С. Д. Сенотрусова // Труды международной научно-технической
конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и
механики». – Воронеж, 2016. – С. 278–281.
10. Воропаева, О. Ф. Численный анализ диагностических свойств p53-зависимых
микроРНК / О. Ф. Воропаева, С. Д. Сенотрусова // Труды международной конфе-
ренции «Марчуковские научные чтения–2017». – Новосибирск, 2017. – С. 795–
802.
11. Voropaeva, O. F. Mathematical modeling of degenerative diseases / O. F. Voro-
paeva, T. V. Bayadilov, S. V. Leontiev, S. D. Senotrusova, Ch. A. Tsgoev,
Yu. I. Shokin // 19th Internat. Conf. Methods of Aerophysical Research / AIP Confer-
ence Proceedings. – Novosibirsk, 2018. – Vol. 2027. – P. 030075-1–030075-6.
12. Воропаева, О. Ф. Математическое моделирование функционирования си-
стемы биомаркеров дегенеративных заболеваний / О. Ф. Воропаева, К. С. Гаври-
лова, С. Д. Сенотрусова // Труды международной конференции «Марчуковские
научные чтения–2019». – Новосибирск, 2019. – С. 86–91.
13. Сенотрусова, С. Д. Влияние дерегуляции р53-зависимых микроРНК на диа-
гностику дегенеративных заболеваний: результаты математического моделирова-
ния / С. Д. Сенотрусова // Труды международной научной конференции «Акту-
альные проблемы прикладной математики, информатики и механики». – Воро-
неж, 2020. – С. 1069–1073.
14. Сенотрусова, С. Д. Численный анализ терапевтического потенциала р53-зави-
симых микроРНК на основе лабораторных данных и минимальных математиче-
ских моделей / С. Д. Сенотрусова, О. Ф. Воропаева // Труды VIII Международной
конференции «Математическая биология и биоинформатика». – Пущино, 2020. –
Статья № e20. 6 с.