Математическое моделирование структурно-фазовых превращений модифицированным методом кристаллического фазового поля : диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук : 05.13.18

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Глава 1. Моделирование методом кристаллического фазового поля . . . 14

1.1 Литературный обзор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Модифицированная модель кристаллического фазового поля . . . . 20

1.2.1 Моделирование быстрой динамики фазовых превращений . 23

1.2.2 Модифицированная модель кристаллического фазового

поля в гиперболической постановке (МКФП) . . . . . . . . . . 28

1.3 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Глава 2. Вычислительный алгоритм решения модифицированного

уравнения кристаллического фазового поля методом

изогеометрического анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1 Метод изогеометрического анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.1 Базисные функции для изогеометрического анализа . . . . . 37

2.2 Алгоритм численного решения модифицированного уравнения

кристаллического фазового поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Глава 3. Численные расчеты методом МКФП и анализ результатов

моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1 Получение кристаллических структур, предсказанных диаграммой

состояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Стр.

3.2 Получение искаженных кристаллических образований

варьированием вычислительных параметров . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3 Исследование зависимости качества пространственной

аппроксимации от размеров конечного элемента . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Глава 4. Программный комплекс для моделирования

модифицированным методом кристаллического фазового

поля (МКФП) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1 Структура программного комплекса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.1 Модуль препроцессор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1.2 Основной вычислительный модуль . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.1.3 Модуль постпроцессор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.4 Модуль дополнительных расчетов . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 Исследование эффективности программного комплекса при

вычислениях на многопроцессорных ЭВМ . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4 Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5 Перспективы дальнейших исследований . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4 Основные результаты

Результаты исследований диссертации:

1) Была исследована модель кристаллического фазового поля в мо-

дифицированной (гиперболической) форме (модель МКФП). МКФП

является расширением базовой модели кристаллического фазового по-

ля (КФП), позволяющей описывать структурно-фазовые превращения

типа жидкость-кристалл на атомных пространственных масштабах и

диффузионном масштабе времени в условиях сильного переохлажде-

ния и высокоскоростной динамики кристаллизации. МКФП модель

описывается дифференциальным уравнением в частных производных

гиперболического типа шестого порядка по пространству и второго

порядка по времени. Для решения такого уравнения сформулирован

безусловно устойчивый неявный конечно-элементный вычислительный

алгоритм, в основе которого лежат принципы изогеометрического ана-

лиза для пространственной дискретизации и обобщенный α-метод для

интегрирования по времени. Разработанный алгоритм обладает возмож-

ностями глобальной C 2 -непрерывной пространственной аппроксимации

решения.

2) Разработан программный комплекс, реализующий вышеуказанный

вычислительный алгоритм и позволяющий проводить численное

моделирование динамики кристаллической структуры во время
структурно-фазовых превращений с использованием высокопроиз-

водительных параллельных вычислителей. Программный комплекс

реализован с использованием свободно распространямых алгорит-

мических библиотек PETSc и PetIGA. В программном комплексе

содержатся: модули подготовки расчетной задачи (препроцессор),

вычислительный модуль (реализация конечно-элементного вычисли-

тельного метода), модуль обработки результатов (постпроцессинг) и

модуль дополнительных расчетов. Программный комплекс протести-

рован на многопроцессорном вычислителе, результаты исследования

распараллеливания вычислений позволяют говорить о высоких показа-

телях эффективности расчетов на высокопроизводительных кластерных

системах. Программный комплекс зарегистрирован в Федеральной

службе по интеллектуальной собственности (№2018617793) под наиме-

нованием Phase Field Crystal Simulator ( PFC _ Simulator ).

3) С помощью разработанного программного комплекса PFC _Simulator

проведены тестовые расчеты некоторых задач. На примере расчетов

трехмерных равновесных кристаллических структур была подтверждена

справедливость модели МКФП для случая структурно-фазовых пере-

ходов вблизи положения равновесия. Результаты этих расчетов были

сопоставлены с аналитической структурной диаграммой. Сопоставле-

ние показало высокий уровень соответствия аналитических выводов и

результатов вычислительных экспериментов. Помимо этого были прове-

дены расчеты нерегулярных искаженных структурных образований, ко-

торые получались при варьировании ряда вычислительных параметров.

Нашла свое подтверждение гипотеза о том, что данные нерегулярные

образования являются метастабильной формой кристалла, образуемого
по причине достижения локального минимума функционала свобод-

ной энергии системы. Показано, что вероятность появления подобных

метастабильных структур может возрастать с увеличением размера

вычислительной области. Таким образом, при исследовании сложных

случаев кристаллизации может возникнуть необходимость внести в

динамическое уравнение модели МКФП дополнительный стохастиче-

ский терм, отвечающий за вибрацию поля атомной плотности. Такая

модификация позволила бы преодолевать те области метастабильных

состояний, которые не проявляются в натурных экспериментах из–

за естественных термодинамических колебаний в структуре вещества.

Наконец, последняя серия вычислительных экспериментов позволила

оценить влияние характерного размера конечного элемента на качество

аппроксимации решения. Показано, что существует критический размер

конечного элемента, связанный с параметром решетки моделируемой

системы. Моделирование кристаллизации с чрезмерно крупными ко-

нечными элементами приводит к резкой потере качества численного

решения, что может повлечь за собой некорректный анализ результатов

и ложные выводы.

Новизна результатов состоит в следующих положениях:

1) В диссертации представлен современный подход изогеометрического

анализа для модификации конечно-элементного метода Галеркина. Ис-

пользование этого метода для решения уравнения МКФП является

новым и ранее представлено не было.

2) На базе разработанного вычислительного алгоритма создан новый

программный комплекс, позволяющий производить расчеты как на

персональном компьютере, так и на суперкомпьютерных кластерах с
широким спектром используемых архитектур и системного программ-

ного обеспечения.

3) Проведены численные расчеты и серии вычислительных эксперимен-

тов, не представленные ранее в литературе. Эти исследования позволили

сформулировать и подтвердить новые теоретические гипотезы, а также

сделать выводы об области применимости модели МКФП.

Результаты представленных в диссертации исследований отражены в ряде

публикаций: 8 публикаций в журналах из баз Scopus и/или Web of Science, 1

публикация в журналах из списка ВАК по специальности, 1 публикация в иных

изданиях. Результаты диссертационных исследований нашли свое отражение в

изданной монографии, посвященной моделированию быстрой динамики кри-

сталлизации.

4.5 Перспективы дальнейших исследований

Модель кристаллического фазового поля в модифицированной (гиперболи-

ческой) форме – сравнительно новая теория для описания структурно-фазовых

переходов на атомном уровне. В литературе представлены единичные про-

екты, направленные на численные расчеты этим методом. В основном эти

расчеты выполняются в двумерной постановке и оставляют открытыми пер-

спективы моделирования сложной динамики кристаллизации из-за нерешенных

вопросов градиентной устойчивости и качества пространственной аппроксима-

ции. Также, во многих публикациях открытым остается вопрос возможности

высокопроизводительных вычислений, что представляется неизбежной необхо-

димостью при решении комплексных трехмерных задач. Дальнейшее развитие
программного комплекса PFC_Simulator позволило бы проводить (по-видимому,

ресурсоемкие) вычисления для решения трехмерных задач методом МКФП в

комплексных, неординарных постановках. Таковыми, например, могут быть за-

дачи об образовании дефектов в расчетных областях повышенной размерности,

задачи о динамике фронта кристаллизации, динамике образования поликри-

сталлических и метастабильных структур. Также, программный комплекс может

быть дополнен модификациями модели МКФП, учитывающими, например, сто-

хастические колебания атомной плотности, или позволяющими моделировать

бинарные соединения. Интерес представляет и дальнейшее изучение концеп-

ции изогеометрического анализа для построения конечно-элементных методов.

Например, открытым остается вопрос решения задачи МКФП этим методом в по-

становке с непериодическими граничными условиями в сферической расчетной

области. Кроме того, актуальным является повышение производительности ра-

боты программного кода, реализующего вычислительный алгоритм. Для этого

перспективным может стать исследование возможностей проприетарных компи-

ляторов и аппаратных систем на основе архитектуры графических ускорителей.

Автор выражает благодарность П.К. Галенко, В.Е. Анкудинову и Н.В. Кропо-

тину за многочисленные неоценимые дисскуссии, советы и комментарии.