Введение ……………………………………………………………………………………………………….. 4
Глава 1 Зоны устойчивости и периодические решения перевернутого маятника с
гистерезисным управлением……………………………………………………………………………… 20
1.1 Математическая модель маятника с осциллирующим подвесом и
гистерезисной нелинейностью …………………………………………………………………. 23
1.2 Исследование устойчивости линеаризованного уравнения ………………….. 25
1.3 Построение зон устойчивости …………………………………………………………….. 28
1.4 Построение периодических решений ………………………………………………….. 33
1.5 Стабилизация неустойчивых периодических режимов в задаче о
диссипативном движении обратного маятника с гистерезисным управлением
………………………………………………………………………………………………………………… 38
1.6 Выводы по первой главе……………………………………………………………………… 42
Глава 2 Стабилизация обратного гибкого маятника …………………………………………
с гистерезисными свойствами ……………………………………………………………………… 43
2.1 Постановка задачи………………………………………………………………………………. 44
2.2 Обратный гибкий маятник с жестким креплением ………………………………. 46
2.2.1 Физическая модель ………………………………………………………………………… 46
2.2.2 Стабилизация…………………………………………………………………………………. 47
2.2.3 Численное решение.Разностная схема ……………………………………………. 48
2.3 Обратный гибкий маятник с гистерезисом в основании стержня …………. 52
2.3.1 Физическая модель ………………………………………………………………………… 52
2.3.2 Кусочно-линейная аппроксимация …………………………………………………. 54
2.4 Моделирование динамики системы …………………………………………………….. 55
2.5 Практическая реализация ……………………………………………………………………. 61
2.5.1 Обратный гибкий маятник с жестким управлением ………………………… 61
2.5.2 Обратный гибкий маятник с гистерезисом в основании стержня …….. 63
2.6 Вывод уравнений движения ………………………………………………………………… 67
2.7 Выводы по второй главе ……………………………………………………………………… 71
Глава 3 Управление гибким обратным маятником на основе метода
сингулярных возмущений ……………………………………………………………………………. 72
3.1 Модель динамики гибкого перевернутого маятника ……………………………. 74
3.2 Динамика единичного возмущения …………………………………………………….. 76
3.3.1 Медленная подсистема …………………………………………………………………… 78
3.3.2 Быстрая подсистема ……………………………………………………………………….. 78
3.3 Анализ и разработка системы управления …………………………………………… 81
3.3.1 Алгоритм управления для медленной подсистемы………………………….. 82
3.3.2 Алгоритм управления для быстрой подсистемы ……………………………… 83
3.4 Моделирование…………………………………………………………………………………… 85
3.5 Выводы по третьей главе…………………………………………………………………….. 88
Заключение …………………………………………………………………………………………………. 89
Список литературы ……………………………………………………………………………………… 91
Приложение А …………………………………………………………………………………………… 105
Акты внедрения …………………………………………………………………………………………. 105
Приложение Б……………………………………………………………………………………………. 106
Программа для ЭВМ программа расчета показателей системы связанных
обратных маятников с обратной связью ……………………………………………………… 106

Во введении приведены общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы дис-
сертации, сформулированы цель и задачи исследований, дана информация о научной новизне и практи-
ческой значимости работы, приводится подробный обзор результатов, связанных с темой исследования.
В частности, приводятся примеры реальных технических систем, функционирование которых желаемо
в малой окрестности неустойчивых положений равновесия. К числу таковых относятся антропоморф-
ные робототехнические системы (в первом приближении их модели сводится к различным модифика-
циям модели обратного маятника), неустойчивые экосистемы (здесь неустойчивость обуславливается
несбалансированностью круговорота веществ), реакции в ядерном реакторе и многие другие. Также во
введении приводится методика исследований и дано краткое изложение содержания диссертации по
главам.
Основные результаты первой главы «Зоны устойчивости и периодические решения перевер-
нутого маятника с гистерезисным управлением» состоят в решении задачи стабилизации верхнего
положения обратного маятника вертикальными осцилляциями в условиях гистерезисного механизма
передачи управляющего воздействия. Иными словами, требуется определить такие параметры управ-
ляющего воздействия (периодически меняющегося ускорения и частоту колебаний), которые обеспечи-
вают устойчивость верхнего положения маятника (здесь и далее под устойчивостью понимается устой-
чивость по Лагранжу: ограниченность фазовых координат на положительной временной полуоси).
Рассматривается механическая система, состоящая из обратного маятника, в основании которо-
го находится цилиндр S длиной H с поршнем P . Цилиндр и поршень могут перемещаться в
направлении вертикальной оси, как показано на рисунке 1. Положение поршня определяется
координатой f (t) , а положение цилиндра координатой v(t ) . Будем считать, что «ведущий» эле-
мент в системе (P, S) –поршень P . В этом предположении систему (P, S) можно рассматривать
как преобразователь  с входным сигналом f (t) (положение поршня) и выходным сигна-
лом v(t ) (положение цилиндра).
Рис. 1. Физическая модель

Далее предполагается, что ускорение поршня периодически изменяется от  a 2 до a 2 с
частотой  (отметим, что параметр a, имеющий размерность перемещения можно отождествить
с амплитудой). В этом случае линеаризованное уравнение движения маятника единичной массы
будет иметь вид:
  [ g  a 2 G (t , H ) w(t )]  0,
l
w(t )   sgn[sin(t )],(1)
 (0)   , (0)   ,
1020

где  – угол отклонения маятника от вертикали, l- длина маятника, g – ускорение свободного
падения, a 2G(t , H )w(t ) – ускорение точки подвески, а
0, t  (t * , t *  t ),
G (t , H )  
1, t  (t , t  t ).
* *

Здесь через t * – обозначен момент времени, соответствующий изменению знака ускорения, а
2H
t -время, за которое поршень преодолевает расстояние между стенками цилиндра.
a 2

Введем следующие безразмерные параметры:
ga2H
x   ,  t , k  2 , s  ,  .
llsl
Тогда из (1.1) получим следующее уравнение:
x  [k  sG( , H ) sgn(sin  )]x  0,(2)
x(0)  x10 , x (0)  x20 ,
совпадающее с уравнением Мейснера если цилиндр имеет нулевую длину. Уравнение (2) запи-
шем в виде эквивалентной системы с соответствующими начальными условиями:
 x1  x2 ,
(3)
 x2  p( ) x1 ,
x(0)  x10 , x(0)  x20.
Поведение кусочно-постоянной функции p( )  k  sG( , H ) sgn(sin  ) представлено на рис.
2.
Рис.2. График функцииp  

В рамках сделанных предположений матрица P( ) системы (3) является периодической с
периодом 2 . В дальнейшем будем исследовать эту систему на равномерную устойчивость по
Лагранжу. Следуя результатам теории Флоке устойчивость такой системы определяется спек-
тром матрицы монодромии, т.е. оценкой ее собственных значений  или мультипликаторов. Так
как матрица системы (3) является кусочно-постоянной, матрица монодромии может быть пред-
ставлена в явной форме. Для этого необходимо последовательно решить четыре системы ли-
нейных уравнений (соответствующие количеству участков постоянства элементов матрицы сис-
темы (2), учитывая непрерывность соответствующего решения. В рассматриваемом случае, мат-
рица монодромии (являющаяся произведением матриц фундаментальных решений соответст-
вующих систем на участках постоянства) имеет вид:


sh( k  )   cos(k 2 )
 ch ( k  )sin(k 2 ) 
Akk2
 k sh( k  ) 
ch ( k)   k 2 sin( k 2)cos( k 2) (4)

sh( k  )   ch (k1 )
 ch ( k  )sh(k1 ) 
kk1,
 k sh( k  )


ch ( k  )   k1 sh(k1 ) ch (k1 ) 

где (k1 ) 2  k  s, (k 2 ) 2  k  s (s  k ),      .
С учетом явного представления матрицы монодромии (4), условие устойчивости изучае-
мой системы имеет вид:
 kk 
| cos(k 2  ) 2ch (2 k  )ch (k1 )  sh(2 k  ) sh(k1 ) 1 
 k1k 
 kk kk  
2 sh(2 k  )ch (k1 ) 2   ch 2 ( k  ) sh(k1 ) 1  2   (5)
 k2k k 2 k1  
 sin( k 2  )  | 2
 sh ( k  ) sh(k  )kkk
 k k  k 
1
 1 2

Таким образом, если параметры управляющего воздействия (k и s) удовлетворяют неравенству
(5), то решения системы ограничены на всей положительной временной полуоси. На рис. 3 по-
казаны зоны устойчивости (решения неравенства (5)) в плоскости параметров k , s для системы
(3) при различных значениях длины поршня H для маятника длиной l  1 м.

Рис. 3. Диаграммы устойчивости при различных длинах поршняH

При значениях параметров, отвечающих границам зон устойчивости, могут реализовываться
периодические режимы. Мультипликаторы матрицы монодромии в этом случае принимают зна-
чения 1   2  1 или 1  2  1 соответственно. В первом случае период соответствующих
24
решений равен T1 , во втором – T2 

Начальные условия, отвечающие периодическим решениям лежат на прямых в фазовом
пространстве рассматриваемой системы, определяемых ее параметрами. Эти решения неустой-
чивы, поэтому для их построения применялась специальная процедура стабилизации неустой-
чивых периодических решений, основанная на методе Магницкого. Этот метод основан на рас-
ширении фазового пространства и решения вспомогательной системы, в которой неустойчивый
цикл стабилизируется посредством адаптивной настройки введенного параметра. На следую-
щих рисунках приведены фазовые портреты периодических решений соответствующих перио-
дов, построенных, с использованием указанного выше метода.

Рис. 4. Фазовые портреты решений с периодом2и4

В работе также исследована зависимость между параметрами системы и раствором люфта,
обеспечивающих существование периодических решений.
Во второй главе «Стабилизация обратного гибкого маятника с гистерезисными свойства-
ми» рассматривается модель динамики обратного гибкого маятника в предположении малых
отклонений от вертикального неустойчивого равновесия. Изучаемая система представляет со-
бой гибкий стержень, одним концом шарнирно закрепленный на подвижной тележке, движу-
щейся без трения, к которой приложено управляющее воздействие. При этом, управление маят-
ником формируется по принципу обратной связи и передается тележке через звено с гистере-
зисной нелинейностью (рис. 5).

Рис. 5. Модель гибкого маятника

Здесь  x, y  – система отсчета гибкого стержня массой m, длиной l и плотностью ρ (про-
дольная плотность), где ось Ox совпадает с касательной к профилю стержня в точке его крепле-
ния, θ – угол наклона системы координат стержня,  X , x  – инерциальная система координат
всей механической системы, M – масса тележки, Fg–сила тяжести, действующая на стержень, F
– управляющее воздействие, формируемое по принципу обратной связи,f–управление, прило-
женное непосредственно к тележке и формируемое посредством гистерезисного преобразовате-
ля f  t     f 0 ,  ,  ,  ,   F  t  (модель Боука-Вена). В настоящей главе решается задача, связан-
ная с нахождением параметров управляющего воздействия, обеспечивающих стабилизацию об-
ратного гибкого маятника в окрестности вертикального положения, а также задача оптимизации
управляющего воздействия по указанным параметрам. Динамика изучаемой системы описыва-
ется системой уравнений

EI
X X   gX   0, t  ,


 MX  0, t   mgX   0, t   EIX   0, t   f  t  ,(6)

 M  m  X  0, t   mlX   0, t   f  t  ,


с начальными и граничными условиями:
 X ( x, 0)  0,

 X ( x, 0)  p  x  ,
(7)
 X (0, t )  X (0, t )  0,
 X (l , t )  X (l , t )  0,


где p  x  – функция, описывающая начальное отклонение маятника от вертикального положе-
ния. Управление формируется следующим образом:
1
l

 u (t ) 
l 0 X  x, t  dx  X  0, t  ,

 F (t )  Au (t )  Bu (t ),

 f (t )   F (t )  1    z  t  ,(8)

 z  t     F (t )   F (t ) z  t  z  t    F (t ) z  t   ,
m 1m


 z (0)  0,

где коэффициенты A и B определяют реакцию управляющего воздействия на величину и ско-
рость отклонения маятника от положения равновесия, σ – параметр, характеризующий вклад
линейной и гистерезисной составляющей в управление, α, β, γ, μ и m параметры феноменологи-
ческой гистерезисной модели Боука-Вена, определяющие, в свою очередь, форму гистерезисной
зависимости между входом F(t) и выходом z(t).
Система (6) – (8) в силу ее существенной нелинейности исследовалась численными мето-
дами: для ее решения был разработан численный метод, ориентированный на учет гистерезис-
ных нелинейностей, была проведена ее разностная дискретизация по пространственной пере-
менной, а полученная таким образом система обыкновенных дифференциальных уравнений ре-
шалась с помощью стандартного пакета Мatlab. Для оценки качества управления использовался
разностный аналог функции

l
V  t     X   x, t   dx ,
(9)
l0
характеризующий среднее отклонение стержня от вертикали. Очевидно, что для решения задачи
стабилизации необходима и достаточна равномерная ограниченность этой функции на положи-
тельной временной полуоси. Поставленная в настоящей главе задача решалась численными ме-
тодами путем сканирования пространства параметров. Оптимизация задачи стабилизации по
параметрам
   A, B,  ,  ,  ,  R 
решалась на конечном временном интервале посредством минимизации функционала
1 T
  
J lg   V  t ,   dt  ,
T 0

 J     min,   R .


При этом варьировались лишь параметры управляющего воздействия A, и B, остальные пара-
метры предполагались фиксированными. Численное исследование проводилось для стержня
круглого сечения с безразмерными параметрами, принимающими следующие значения:
l  1, r  100, V  7850, D  0.005,
M  1, N  10, T  1000,   8,   2, m  2.
На следующих рисунках отображены значения функционала (10) для двух групп значе-
ний параметров, соответствующих отсутствию (слева) и присутствию (справа) гистерезисной
составляющей в управляющем воздействии (цветом выделено множество в пространстве пара-
метров, отвечающее стабилизации – ограниченности фазовых координат):
Рис. 6. Зоны устойчивости в пространстве параметров 1   A, B,1,1,1 ,1 ,
2   A, B,0.5,1,1 , 2 ,
Численно были найдены оптимальные значения функционала (10) и отвечающих ему значений
параметров А и В:
min  J  1   4.1911  A  2500, B  62,


min  J  2    4.0539  A  2500, B  88.

Динамика стабилизации для оптимальных значений параметров иллюстрируется следующим
рисунком:

Рис. 7. Динамика изменения среднего отклонения маятника от положения равновесия

Также во второй главе исследовались спектральные характеристики решений задачи стабилиза-
ции при оптимальных значениях параметров.
В третьей главе «Управление гибким обратным маятником на основе метода сингуляр-
ных возмущений» рассматривалась задача стабилизации гибкого маятника с сосредоточенной
массой на его конце в ситуации, когда масса самого маятника существенно меньше сосредото-
ченной массы. Задача этой главы заключается в разработке алгоритма стабилизации верхнего
положения и управления маятником на основе метода разделения движений (на быструю и мед-
ленную составляющую) в сочетании с классическим методом малого параметра. Физическая
модель изучаемой системы приведена на следующем рисунке.

Рис. 8. Гибкий маятник на подвижной опоре

Ниже используются следующие обозначения:
f – сила, приложенная к точечному грузу,
M – эквивалентная масса системы в неподвижном состоянии,
 – линейная плотность упругого стержня,
m – масса груза на конце перевернутого маятника,
L – длина гибкого маятника,
F – сила, приложенная к подвижной опоре,
E – модуль Юнга,
 – угловое положение звена,
u ( x, t ) – внешнее отклонение от касательной, проведенной в точке крепления,
J – момент инерции маятника относительно точки крепления.
Уравнения динамики рассматриваемой системы (полученные на основе принципа Гамильтона),
а также начальные и граничные условия имеют вид:
  (u( x, t )  x  r  g )  EIu ( x, t )  0
xxxx
(10)

m(u( L, t )  L  r  g )  EIuxxx ( L, t )  f  0(11)

uxx ( L, t )  0, uxx (0, t )  0, u (0, t )  0,(12)

L2LL
( J  mL2   L)  (mL   L )r  (mL   L ) g 
L
(13)
 m{Lu ( L, t )  gu ( L, t )}    ( xu ( x, t )  gu ( x, t ))dx  0
L
( M  m   L)r  (mL   L ) 
L(14)
 mu( L, t )    u( x, t )dx  F  0
u (0, t )  0(15)

ux (0, t )  0(16)
Интуитивно ясно, что колебания, распространяющиеся по длине стержня, являются «бы-
стрыми» по сравнению с колебаниями всей конструкции. Формально это можно учесть, введя
EI
малый параметр следующим образом: представим параметрв виде


EI(17)
 aK ,

где a K .
Поперечные колебания, формализуемые функцией u в относительной системе, происхо-
дят в быстром времени. Следовательно, необходимо ввести новую переменную w(x,t), отвечаю-
щую колебаниям в быстром времени:
u( x, t )   2 w( x, t )(18)
где2 является параметром возмущения. Также введем быстрое время соотношением
K
t
v
.
С учетом указанных выше обозначений колебания рассматриваемой системы можно раз-
бить на «быстрые» (соответствующие поперечным движениям гибкого маятника) и медленные –
колебания жесткого стержня. Для описания движений указанных систем введем также быструю
переменную:
w f  w  ws .(19)

Ниже индекс f используется для описания переменных в ускоренном временном масштабе, а
индекс s – в естественном времени. Медленная система имеет вид:

LLL
( J  mL2   L )  (mL   L )r  (mL   L ) g  0,(20)
L
( M  m   L)r  (mL   L )  Fs  0.(21)
Уравнение движения для поперечных вибраций стержня принимает вид:
( x  r  g )  awsxxxx ( x, t )  0,(22)

и граничное условие на свободном конце стержня формализуется в следующей форме:
m( L  r  g )   awsxxx ( L, t )  f s  0.(23)

Для анализа динамического поведения быстрой подсистемы, введем временной масштаб как
t
v. Тогда динамика осцилляций буде подчиняться уравнению

1 ˆ(24)
( 2 ( ws wˆ f ))  a ( w fxxxx ( x, t ))  0.
2

ˆ f обозначает производную по времени в ускоренном временном масштабе.
Здесь и далее w
Предполагая почти постоянство ws в быстром масштабе времени получим уравнение

 wˆˆ f  aw fxxxx ( x, t )  0.(25)

Граничные условия для быстрой переменной имеют вид:

m( wˆˆ f ( L, t ))   aw fxxxx ( L, t )  f f  0,(26)

w fxx ( L, t )  0,(27)

w f (0, t )  0,(28)

w fx (0, t )  0.(29)

Алгоритм управления медленной подсистемой строится следующим образом. Сначала система
записывается в эквивалентной матричной форме:
x  Ax  B(u  d (t )),(30)

где x  [ , , r , r ] и d (t ) возмущение, предполагаемое ограниченным: | d (t ) | D . Регулятор
описывается следующим образом:
u(t )  ueq  un ,(31)

ueq  ( BT PB)1 BT PAx(t ),(32)

un  ( BT PB)1 | BT PB | D  sat ( s ),(33)

где P  P  0 , а sat (s) – функция насыщения, определяемая как
T
1, s  

sat ( s )  ks,| s | 1 / , k  1 /  .
1, s  

В диссертации доказывается, что функция Ляпунова для медленной подсистемы может быть
определена как

1 2
Vs ,
где

s  BT Px.(34)

Алгоритм управления быстрой подсистемой также основан на аппарате функций Ляпунова, ко-
торая, в свою очередь, определяется как

L(35)
V (v )  vE (v )   xwˆ f ( x, v ) w fx ( x, v )dx,
где

(36)
lm
E (v )   ( EIw2fxx   wˆ f )2 dx  K1 (   aw fxxx ( L, v ) wˆ f ( L, v )) 2 .
0
Эффективность разработанного метода исследовалась в сравнении с алгоритмом стабилизации,
основанном на принципах обратной связи. Результаты вычислительных экспериментов иллюст-
рируются следующими рисунками:

Рис. 9. Динамика отклонений точек гибкогоРис. 10. Динамика отклонений точек гибкого
маятника при управлению по принципумаятника по предложенному алгоритму
обратной связи
Отметим, что параметры маятника и начальные условия в обоих случаях совпадали. Таким об-
разом, как следует из рисунков, предложенный алгоритм стабилизации оказался вполне работо-
способен применительно к задаче стабилизации гибкого обратного маятника, поскольку обеспе-
чивает существенно меньшие отклонения маятника от положения равновесия в сравнении со
стандартным алгоритмом (максимальные отклонения от положения равновесия в случае реали-
зации алгоритма стабилизации по принципу обратной связи превосходят таковые на два порядка
по сравнению с предложенным).
В заключении подводятся итоги исследования. В представленной работе для класса ди-
намических систем с распределенными и сосредоточенными параметрами, содержащих звенья
гистерезисной природы, разработаны качественные и приближенные аналитические методы
стабилизации в окрестности неустойчивого положения равновесия, а также метод стабилизации
неустойчивых периодических режимов. В частности, решены следующие задачи:
1. Разработаны принципы стабилизации неустойчивыми динамически системами по-
средством управляющего воздействия с гистерезисными звеньями в управляющем устройстве
на примере обратного маятника, идентифицированы зоны устойчивости в пространстве пара-
метров.
2. Разработан метод стабилизации гибкого обратного маятника в окрестности верти-
кального положения с учетом гистерезисных свойств управляющего устройства. Проведена оп-
тимизации управляющего воздействия по параметрам в смысле минимизации функционала, ха-
рактеризующего отклонение гибкого маятника от вертикали.
3. Исследована математическая модель механической системы состоящей из движущей-
ся платформы и шарнирно закрепленного на ней гибкого обратного маятника. Разработан алго-
ритм стабилизации гибкого маятника, основанный на разделении движений – быстрых (попе-
речных колебаний маятника) и медленных – колебаний в окрестности неустойчивого положения
равновесия в сочетании с классическим методом малого параметра. Проведенные вычислитель-
ные эксперименты показали высокую эффективность разработанного алгоритма в сравнении с
известными: а именно, максимальное отклонение маятника от положения равновесия при ис-
пользовании классического алгоритма стабилизации, основанного на принципах обратной связи
в 200 раз превышает аналогичную, в случае применения алгоритма, предложенного в работе.

Актуальность темы исследования. Одна из классических задач
моделирования динамических систем связана со стабилизацией неустойчивых
положений равновесия. Эта задача естественным образом возникает в
инженерных приложениях при проектировании строительных конструкций, в
частности при консольном закрепление вертикального упругого стержня с
вертикально приложенной нагрузкой, стабилизации движения летательных
аппаратов на участке набора высоты, и многих других. Кроме того, идеи и
методы, связанные со стабилизацией неустойчивых режимов лежат в основе
алгоритмов управления, антропоморфными робототехническими системами,
реакциями в ядерных реакторах, экологическими системами и многими другими.
Модели указанных систем, как правило, сводятся к существенно нелинейным
уравнениям с сосредоточенными или распределенными параметрами. При этом
анализ устойчивости и алгоритмы стабилизации оказываются существенно
более простыми в ситуации, когда нелинейности уравнений соответствующих
моделей допускают линеаризацию в окрестности положения равновесия. Задача
стабилизации существенно усложняется в случае, когда уравнения содержат
негладкие нелинейности, в том числе гистерезисного типа. Зависимости
указанного вида регулярно возникают в различных разделах физики, механики,
биологии и др.[46, 87, 90, 91, 94, 99, 103, 122]. Известен целый ряд физических
явлений, в рамках которых соотношения между определяющими их
динамическими параметрами существенным образом зависят от предыстории,
что соответствует гистерезисной зависимости. Несмотря на распространенность
и важность этого явления, для анализа устойчивости механических (и не только
механических) систем до недавнего времени не существовало простого
аналитического метода, способного описать его с достаточной степенью
точности и адекватности. Важным шагом к систематизированному описанию
явления гистерезиса стало создание М.А. Красносельским и А.В. Покровским
математической теории, формализующей общие методы описания и
исследования широких классов систем с гистерезисом [49, 50, 71, 72,73]. Для
этого был создан и развит новый математический аппарат, основанный на
выделении элементарных носителей гистерезиса – гистеронов как
преобразователей с пространствами состояний, соответствием ввода-вывода и
соответствием ввода-состояния. Методы идентификации гистерезиса,
разработанные в рамках теории, связаны с известной методологией Нола,
Коулмана, Трудселла и других (в связи с этим отметим шестую проблему
Гильберта в механике непрерывных сред) [92, 98, 120, 123].
Системы с нелинейностями гистерезисного типа имеют ряд особенностей,
которые радикально отличают их от стандартных систем с функциональными
нелинейностями. К ним относятся, прежде всего, недифференцируемость
операторов, моделирующих гистерезисные соотношения в пространствах
непрерывных функций, естественных для прикладных задач, необычный
характер фазовых пространств, которые включают в себя пространства
состояний соответствующих гистерезисных преобразователей, которые
обычно не имеют линейной структуры, и некоторые другие [35 – 37, 89].
Поэтому анализ устойчивости и разработка алгоритмов стабилизации
механических систем с гистерезисными связями требует создания новых
методов, которые учитывают вышеупомянутые особенности. Помимо того, как
демонстрируют простые примеры, для систем с гистерезисом характерна
ситуация, когда асимптотически устойчивые режимы принципиально
нереализуемы, что затрудняет численную реализацию методов их
приближенного построения. Это обуславливает необходимость разработки
новых численных методов и алгоритмов построения переходных процессов в
системах с нелинейностями гистерезиса [39- 42, 47]. Таким образом, возникает
научная задача разработки качественных и приближенных аналитических
методов и алгоритмов исследования задач стабилизации моделей неустойчивых
динамических систем с нелинейностями гистерезисного типа, а также
разработки численных и аналитических методов анализа их динамических
свойств [78, 81, 85, 88]. Решение указанной задачи подразумевает разработку
инструментальных методов стабилизации моделей динамических систем с
гистерезисными звеньями в окрестности неустойчивого положения равновесия,
а также стабилизации неустойчивых периодических режимов.
Математические модели механических систем с гистерезисными
компонентами, допускают описание в рамках техники операторно-
дифференциальных уравнений, где гистерезисным звеньям соответствуют
операторы, зависящие от своего начального состояния как от параметра и
определенные на широком функциональном пространстве (например, на
пространстве непрерывных функций или функций ограниченной вариации).
Возможность такой трактовки гистерезисных нелинейностей основана на
развитом М.А. Красносельским и его учениками операторном подходе к
моделированию гистерезисных преобразователей в рамках теории систем[74 –
76]. На сегодняшний момент методы анализа таких систем весьма ограничены.
Это связано с целым рядом особенностей: негладкостью операторов,
являющихся математическими моделями гистерезисных звеньев; фазовые
пространства таких систем, как правило, включают в себя пространства
состояний гистерезисных преобразователей и могут иметь достаточно сложную
(нелинейную) структуру.
В рамках настоящей работы разрабатывается новый эффективный подход
к анализу динамических особенностей систем с гистерезисом, основанный на
использовании аппарата гистерезисных операторов и классического метода
малого параметра. В задачах, связанных с изучением динамики механических и
подобных им систем, где гистерезисные свойства приобретаются, например, в
процессе длительного функционирования и старения материалов, вклад
гистерезисной компоненты, как правило, весьма незначителен (в
энергетическом смысле) по сравнению с основной модой функционирования,
однако ее присутствие качественно меняет динамические характеристики[100,
101, 118, 119]. Операторы, являющиеся математическими моделями
гистерезисных нелинейностей, не являются однозначными, однако на участках
монотонности входного воздействия гистерезисные преобразователи (в
трактовке М.А. Красносельского) допускают аппроксимацию оператором
суперпозиции, что, в свою очередь, обуславливает возможность применения
классического метода малого параметра на участках монотонности. При этом
остается проблема “сшивания” соответствующих решений при изменении
поведения входов. В свою очередь, для ее решения применимы стандартные
методы теории пограничного слоя и квантовомеханической аналогии теории
транспорта [56, 58, 59].
Принципиально иная ситуация возникает при рассмотрении динамики
систем, описываемых разнотемповыми дифференциальными уравнениями.
Гистерезисная нелинейность в таких системах уже не обязана быть малой,
однако, если гистерезисные преобразователи содержатся в правых частях
уравнений, описывающих динамику “быстрых” переменных, то, в соответствии
с классическими результатами теории Крылова-Боголюбова-Митропольского,
недифференцируемость некоторых компонент правых частей по фазовым
переменным не является условием, ограничивающим применение метода
малого параметра [60, 67, 69]. В этой связи разработка нового
инструментального подхода к анализу систем с гистерезисными
нелинейностями, в частности, задач стабилизации механических систем в
окрестности неустойчивого положения равновесия, основанного на
применении метода малого параметра, позволит создать перспективную
методику анализа динамических систем с неоднозначными нелинейностями
[79, 80, 109].
Исторически первоначальные идеи метода малого параметра были
опубликованы в работах А. Пуанкаре [97]. В дальнейшем свое развитие этот
метод получил в классических работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А.
Митропольского [4], А.Н. Тихонова [30], Л.С. Понтрягина [22] и других
исследователей. В настоящее время метод малого параметра является мощным
инструментом анализа сложных нелинейных систем, позволяющим, в отличие
от применения прямых численных методов, получать, хотя и приближенные
решения, но в явной аналитической форме (в этой связи отметим одну из
наиболее полных монографий, посвященную различным фундаментальным и
прикладным аспектам метода малого параметра [17]).
К настоящему времени объем литературных источников, в той или иной
степени связанных с применением метода малого параметра к исследованию
динамики нелинейных систем, давно перешел границу в несколько десятков
тысяч. Области исследований, в которых метод малого параметра находит свое
применение, включают в себя такие направления как теория колебательных
систем (как механических, так и радиофизических)[38, 54], теория управления
(в том числе, и такое бурно развивающееся направление как механическая и
электромеханическая робототехника), фундаментальные направления,
связанные с изучением свойств материалов и исследованием их механических
свойств (теория твердого тела, материаловедение, механика и динамика микро-
и наноструктур и пр.) [48, 96], химическая кинетика (изучение разнотемповых
химических реакций, кинетики процессов горения, теория растворов), биология
(исследование математических моделей динамики популяций), космология,
экономика и др. Однако по настоящее время систематическое применение
подхода, основанного на классическом методе малого параметра к
исследованию динамических свойств систем, содержащих, в том или ином виде,
нелинейности гистерезисного типа, не производилось. Отметим, что наряду с
несомненной фундаментальной значимостью (связанной с развитием новых
математических методов и подходов к исследованию динамических систем,
описываемых в терминах дифференциально-операторных уравнений)[57, 121],
применение метода малого параметра к системам, содержащим гистерезисные
нелинейности, носит и важный прикладной аспект (разработка эффективных
математических моделей функционирования реальных технических систем,
таких как манипуляторы, механические и электромеханические
роботизированные устройства, учитывающих процессы старения материалов
составляющих частей таких систем; применение математических моделей к
исследованию динамических особенностей протекания различного рода
процессов в современных материалах и структурах на их основе, содержащих
элементы и блоки, обладающие гистерезисной структурой, либо находящиеся
под воздействием внешних факторов гистерезисной природы и т.д.).
Исследования динамических свойств различных систем, допускающие
применение метода малого параметра (довольно часто, особенно в зарубежной
литературе, этот метод называется асимптотическим методом
AsymptoticMethod), в настоящее время занимают одну из ведущих позиций в
таких бурно развивающихся областях как робототехника, теория управления
механизмами и автоматами, материаловедение и т.п. В этой связи отметим
следующие работы: [19], посвященную задаче управления гибким
манипулятором посредством вращательных движений. В этой работе на основе
метода малого параметра и понижения размерности удалось решить задачу об
оптимальном управлении такой структурой; [70], в которой с использованием
метода малого параметра исследуется задача о внутреннем резонансе в системе
слабосвязанных нелинейных осцилляторов. Получены асимптотические
решения для указанной системы и проанализированы ее динамические
особенности, в частности, установлено, что медленные изменения жесткости
могут приводить к существенному изменению энергетических характеристик
даже за границами линейного резонанса[93], где исследовано необычное
явление нарушения пространственно-временной инвариантности в системе
нелинейно связанных осцилляторов ван дер Поля; [82], в которой развивается
строгий математический подход, основанный на методе малого параметра, а
также предлагается математическая модель распространения волновых форм
движения в перфорированной области с заданными однородными условиями
Неймана на границах отверстий; [64], в которой с использованием метода
малых возмущений установлены явные аналитические выражения для сдвига
резонансной частоты микроэлектромеханической системы (MEMS) при
изменении массы анализируемого полимерного материала; [55, 68], в которых
исследуются внутренние резонансные свойства вязко-упругих материалов
(моделируемых посредством техники дробного дифференцирования) с
применением методов декомпозиции и последующего разложения в ряд по
степеням малого параметра. Обе работы посвящены инженерным приложениям
указанных систем в задачах демпфирования с учетом внутренних свойств
материалов, при этом с фундаментальной точки зрения, они представляют
несомненный интерес как образец синтеза аппаратов метода малого параметра
и дробного дифференцирования. Особо отметим монографию [102, 114], где с
использованием строго математического подхода рассмотрены разнообразные
приложения метода малого параметра к исследованию динамики инженерных
систем, а именно: рассмотрены различные аспекты течения вязко-упругих,
неньютоновых жидкостей, процессы тепло-массо-переноса в нелинейных
средах с нестандартными граничными условиями, динамика популяций в
условиях существенно нелинейной зависимости параметров, а также различные
нелинейные колебательные системы, как механического, так и
радиотехнического типов. Отметим, кроме того, цикл работ В.А. Соболева, в
которых удалось (с использованием понятия интегрального многообразия
быстрых движений) развить новый метод декомпозиции систем управления с
быстрыми и медленными переменными и применить его для решения ряда
задач теории управления. Этот подход был развит для непрерывных и
дискретных систем с несколькими временными масштабами [104] и на системы
со случайными возмущениями, с периодическим управлением [84], с
запаздыванием (совместно с Э. М. Фридман). Метод интегральных
многообразий медленных движений распространен на системы, для которых
нарушаются условия выполнения теоремы А. Н. Тихонова. Совместно с Е.А.
Щепакиной введено понятие интегральных многообразий со сменой
устойчивости (многомерный аналог траекторий-уток) и доказаны теоремы о
существовании и свойствах таких поверхностей [5]. Помимо прикладного
интереса, фундаментальные аспекты метода малого параметра также в
настоящее время широко исследуются. В этой связи отметим яркие результаты,
полученные в цикле работ [8, 61, 63], в рамках которых устанавливается связь
между классическим методом гомотопии и методом малого параметра
применительно к задачам нелинейной динамики, что позволяет относительно
просто получать приближенные решения весьма сложных нелинейных
уравнений в явной аналитической форме. Кроме того, одним из перспективных
направлений фундаментальных исследований являются задачи диагностики и
управления хаотическими режимами различных динамических систем с
использованием техники малого параметра. В этой связи отметим работы [62,
86]. Вместе с тем все вышеуказанные исследования различных технических
систем, моделей, дифференциальных уравнений с функциональными
нелинейностями, и, как следствие, такие системы связей между отдельными
элементами возможная гистерезисная природа не учитывать. В то же время
модели с носителями гистерезиса обычно используются в физике, механике,
экономике и т. д. Предложенный М.А. Красносельским единый подход к
математическому описанию, охватывающий многие феноменологические
модели гистерезиса и нелокальной памяти, позволил развить эффективные
методы качественного и численного изучения моделей с элементами
гистерезиса. Наиболее полно конструктивные модели гистерезисных
преобразователей, трактуемые как операторы, зависящие от начального
состояния как от параметра и определенные на широком функциональном
пространстве (например, поле непрерывных функций или ограниченных
вариационных функций), изложено в монографии Красносельский М. А.,
Покровский А. В. [12]. Модели векторного гистерезиса детально описаны в
монографии в работах Майергойза [86]. Математические модели многомерных
гистерезисных преобразователей обычно включают в себя операторные
соотношения между частью переменных и дифференциальные уравнения
одновременно. В настоящее время свойства различных классов операторов
гистерезисного типа связаны с непрерывностью и условием Липшица в
различных функциональных областях, монотонностью и т.д.; важные общие
характеристики включают физическую реализуемость и инвариантность с
монотонными преобразованиями времени: когда изменению шкалы времени
входа, соответствует такое же изменение шкалы времени выхода. В то же время
вопросы о различных аспектах динамики систем с гистерезисом, включая
различные режимы динамических колебаний системы, до конца не изучены.
Исследование таких систем еще более усложняется тем фактом, что эти
операторы гистерезиса не обладают сильной дифференцируемостью и могут
иметь очень сложные пространства состояний. К таким операторам относится,
например, оператор Прейсаха, который возникает при моделировании систем с
ферромагнитными элементами, а также в гидрологических моделях
проникновения наносов в почву. Аналогичные темы также рассматриваются в
работах [65, 66].
В последние годы одной из наиболее часто используемых моделей
гистерезиса является феноменологическая модель Боука-Вена. Эта модель
формализуется посредством двух соотношений, – одного алгебраического и
дифференциального уравнения. Детальный анализ этой модели содержится в
работе [43]. В этой работе исследована зависимость входно-выходных
соотношений от параметров модели, предельные свойства решений,
устанавливаются условия существования предельных циклов и т.д. Отметим
также монографию тех же авторов [53]. Хорошо известно, что модель Боука-
Вена является удобным инструментом для формализации гистерезисных
зависимостей, особенно в ситуации, когда гистерезисное звено является частью
сложной системы. Однако конструктивная составляющая в этой модели
отсутствует (в отличие от модели Прейсаха, преобразователя Ишлинского и
др.). Из недавних работ, посвященных гистерезисным преобразователям,
отметим работы: [107], в которой доказывается, что, при выполнении ряда
неограничительных условий, классические гистерезисные преобразователи
(Ишлинского, Прейсаха) обладают свойством слабой дифференцируемости;
[110], в рамках которой рассматривается задача оптимизации
функционирования преобразователей энергии, основанных на свойствах
«умных материалов» с учетом гистерезисных особенностей последних.
Гистерезисные свойства в управляющих элементах рассматривались в
немногих работах. В этой связи отметим работы [9, 110], посвященные
стабилизации жесткого и гибкого перевернутых маятников посредством
гистерезисного управления.
Таким образом, несмотря на явные успехи, достигнутые в изучении
динамических систем с гистерезисными особенностями, арсенал методов,
применимый для их анализа, является не столь богатым (в сравнении с
системами, в которых нелинейности формализуются функциональными
соотношениями) и, в основном, решения получаются лишь численно.
В заключении этого раздела приведем несколько примеров систем,
желаемая динамика которых сосредоточена в малой окрестности неустойчивого
положения равновесия. Первый из них связан с управлением антропоморфными
роботизированными системами. Двуногие шагающие роботы являются одним
из развивающихся направлений разработок и исследований в мире
робототехники. Особенность двуногой ходьбы заключается в том, что шаг
робота сопровождается переносом центра масс при перемещении свободной
ноги, при этом в каждый момент времени движение конструкции в целом
должно быть устойчивым. Управление ходьбой робота должно обеспечивать
различные режимы движения в широком диапазоне характеристик
поверхностей: наклонная плоскость, ступени, препятствия переменной высоты,
влажная поверхность, неровности ландшафта, нежесткая поверхность. При
разработке антропоморфных роботов разрабатываются схемы, в основе
которых лежат многозвенные обратные маятники. Динамика таких механизмов
формируется за счет изменения углов в точках сочленения звеньев с помощью
сервоприводов. Таким образом, средства управления искусственными
суставами, являются объектом систем управления, в то время как в целом
система должна быть стабилизирована с помощью управляющих воздействий.
В то же время физиологически бионическое перемещение осуществляется не
только за счет управления суставами, но и мышечной системой. Метод точки
нулевого момента широко используется для планирования устойчивой ходьбы
двуногого робота. Однако этот метод не может быть эффективно использован в
системах управления шагающими роботами в реальном времени, что
обусловлено нелинейностями моделей и вычислительной сложностью задач
управления. Более современным подходом является метод гибридной нулевой
динамики. Основная идея этого метода заключается в установке виртуальных
ограничений для создания предельного цикла в пространстве состояний робота,
стабилизированного управляющими воздействиями, реализуемыми в
искусственных суставах.
Следующий пример касается управления ядерным реактором. Проблеме
выравнивания распределения нейтронного потока в рабочем пространстве
активной зоны ядерного реактора столько же лет, сколько атомной энергетике
в целом. Эксплуатация уже первых ядерных реакторов показала, что
автоматическая стабилизация плотности нейтронного потока в целом по
реактору должна быть дополнена устройствами управления распределением
этой мощности по активной зоне. Многочисленные аварии на реакторах, как в
России, так и за рубежом, происходили не по причине отказа системы
регулирования интегральной мощности (она поддерживала мощность на
заданном уровне), а по причине отсутствия контроля и соответствующего
управления распределением мощности по активной зоне. Иными словами,
исходная задача должна быть переформулирована в терминах стабилизации
систем с распределенными параметрами. Дело в том, что реактор как объект
управления является нестабильным элементом системы. Во время нормальной
работы возникают спонтанные скачки напряжения, которые могут привести к
увеличению амплитуды при отсутствии надлежащего контроля и срабатыванию
аварийной защиты и остановке реактора. Это обуславливается ксеноновыми
колебаниями, вызванными нестабильным внутренним циклом обратной связи
реактора при отравлении продуктами деления. Известно, что из-за низкой
частоты ксеноновых вибраций (одна или две вибрации в день) они могут быть
компенсированы ручным движением абсорбирующих стержней без серьезной
нагрузки на операторов управления. Однако ситуация осложняется тем, что
управляющие стержни движутся сверху вниз по ядру, создавая неровности в
распределении потока нейтронов. Плотность потока в нижней части ядра
увеличивается относительно верхней части, происходит распределение типа
“бутылка”. Поскольку амплитуда колебаний ксенона прямо пропорциональна
плотности потока нейтронов, она больше, чем верхняя, в нижней части
реактора, поэтому стабильность распределения нейтронного поля по объему
реактора нарушается. Таким образом, задачей управления ядерным реактором
в формальной постановке считается задача стабилизации нестабильной
системой с распределенными параметрами.
Объект исследования – модели динамических систем с
распределенными и сосредоточенными параметрами.
Предмет исследования – алгоритмы стабилизации неустойчивых
динамических систем с гистерезисными свойствами в окрестности
неустойчивого положения равновесия.
Цель исследования – разработка и развитие качественных и
приближенных аналитических методов, численных алгоритмов стабилизации
классов динамических систем с распределенными и сосредоточенными
параметрами в условиях гистерезисных связей в управляющем механизме.
Достижение указанной цели осуществлялось решением следующих
задач:
1. Анализ математических моделей гистерезиса. Разработка принципов
построения их численной реализации в составе различных механических
систем (с распределенными и сосредоточенными параметрами) с
гистерезисными связями.
2. Разработка принципов стабилизации неустойчивыми динамическими
системами посредством управляющего воздействия с гистерезисными
звеньями в управляющем устройстве на примере обратного маятника,
идентификация зон устойчивости в пространстве параметров.
3. Анализ математической модели обратного гибкого маятника с
гистерезисными связями в основании его крепления. Разработка метода
стабилизации маятника в окрестности вертикального положения с учетом
гистерезисных свойств управляющего устройства. Оптимизация
управляющего воздействия по параметрам в смысле минимизации
функционала, характеризующего отклонение гибкого маятника от
вертикали.
4. Исследование математической модели механической системы, состоящей
из движущейся платформы и шарнирно закрепленного на ней гибкого
обратного маятника. Разработка алгоритма стабилизации маятника,
основанного на разделении движений – быстрых (поперечных колебаний
гибкого маятника) и медленных – колебаний в окрестности неустойчивого
положения равновесия в сочетании с классическим методом малого
параметра.
Научная новизна
 Разработаны оригинальная методика стабилизации обратного
маятника посредством гистерезисного управления и алгоритм
построения зон устойчивости в пространстве его параметров;
модифицирован метод Магницкого применительно к задаче
стабилизации неустойчивых периодических режимов модели
обратного маятника с гистерезисным управлением.
 Разработан алгоритм численной реализация математической модели
гибкого обратного маятника с гистерезисными связями в основании
его крепления, предложен новый алгоритм его стабилизации в
окрестности неустойчивого положения равновесия, решена задача
оптимизации его динамики в смысле минимизации функционала,
характеризующего отклонение от вертикали.
 Разработан алгоритм стабилизации обратного гибкого маятника на
основе метода разделения разнотемповых движений в сочетании с
классическим методом малого параметра.
Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные в
работе методы стабилизации обратных маятников с распределенными и
сосредоточенными параметрами могут послужить основой для программно-
аппаратной реализации устойчивого функционирования различных
механических систем с гистерезисными связями в контуре управления. Кроме
того, разработанные алгоритмы могут оказаться применимыми в задачах
обеспечения устойчивости различных динамических объектов в процессе их
длительной эксплуатации, так как в силу износа и старения в их механических
составляющих могут проявляться нелинейности гистерезисной природы –
люфты, упоры и др. Именно в прикладных областях может оказаться
востребован алгоритм стабилизации неустойчивых периодических режимов в
механических системах с гистерезисными звеньями.
Методы исследования. При выполнении работы использовались
классические методы теории динамических систем, методы математического
моделирования, методы разделения движений в сочетании с классическим
методом малого параметра, операторная теория гистерезиса, качественная
теория дифференциальных уравнений, нелинейный анализ, численные методы
решения дифференциальных уравнений с сильными нелинейностями (здесь и
далее под таковыми понимаются нелинейности, для которых принципиально
невозможна процедура линеаризации).
Степень достоверности результатов. Все результаты базируются на
корректной математической постановке задач, согласуются с общими
физическими представлениями. Правильность полученных результатов
определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с
известными результатами других авторов, а также соответствием полученных
результатов в частных случаях классическим результатам.
Реализация и внедрение научных результатов. Результаты исследования,
направленные на научное обоснование и разработку новых методов и
алгоритмов устойчивого функционирования и стабилизации динамических
механических систем с гистерезисными связями, внедрены на АО
«Металлургический завод «Электросталь» для повышения эффективности
управления подъёмно-транспортным оборудованием в металлургическом
производстве (приложение А);применяются в образовательном процессе

В настоящей работе для класса динамических систем с распределенными
и сосредоточенными параметрами, содержащих звенья гистерезисной природы,
разработаны качественные и приближенные аналитические методы
стабилизации в окрестности неустойчивого положения равновесия, а также
метод стабилизации неустойчивых периодических режимов. В частности,
решены следующие задачи:
1. Разработаны принципы стабилизации неустойчивыми динамически
системами посредством управляющего воздействия с гистерезисными звеньями
в управляющем устройстве на примере обратного маятника, идентифицированы
зоны устойчивости в пространстве параметров.
2. Разработан метод стабилизации гибкого обратного маятника в
окрестности вертикального положения с учетом гистерезисных свойств
управляющего устройства. Проведена оптимизации управляющего воздействия
по параметрам в смысле минимизации функционала, характеризующего
отклонение гибкого маятника от вертикали.
3. Исследована математическая модель механической системы состоящей
из движущейся платформы и шарнирно закрепленного на ней гибкого обратного
маятника. Разработан алгоритм стабилизации гибкого маятника, основанный на
разделении движений – быстрых (поперечных колебаний маятника) и
медленных – колебаний в окрестности неустойчивого положения равновесия в
сочетании с классическим методом малого параметра. Проведенные
вычислительные эксперименты показали высокую эффективность
разработанного алгоритма в сравнении с известными: а именно, максимальное
отклонение маятника от положения равновесия при использовании
классического алгоритма стабилизации, основанного на принципах обратной
связи в 200 раз превышает аналогичную, в случае применения алгоритма,
предложенного в работе.
Результаты работы внедрены на предприятия «Электросталь». На
предприятии широко применяются гибкие манипуляторы для обработки и
складирования высокоточного оборудования. Результаты представленной
работы позволили оптимизировать динамику погрузочно-разгрузочных работ (в
частности, алгоритмы стабилизации позволили усовершенствовать загрузку
стеллажей верхних ярусов), что в конечном итоге привело к экономическому
эффекту в объеме 1,3 млн. рублей.

Заказать новую

Лучшие эксперты сервиса ждут твоего задания

от 5 000 ₽

Не подошла эта работа?

Закажи новую работу, сделанную по твоим требованиям

Читать

Публикации автора в научных журналах

Charged inverted pendulum as a new model for control of unstable systems

Semenov, M.E., Meleshenko, P.A., Gorlov, V.A., Rukavitcyn, A.G., Reshetova, O.O., Abbas, Z.H.,Nguyen, H.T.T., Klinskikh, A.F. // Progress In Electromagnetics Research Symposium, 2016- №.7734836, pp. 1938-1

Radiation and control of coupled charged inverted pendulums

Semenov,M.E., Meleshenko, P.A., Klinskikh, A.F., Ischuk, I.N., Nguyen, H.T.T., Gorlov, V.A., Solovyov, A.M.,Abbas, Z.H., Popov, M.A., Reshetova, O.O. // Progress in Electromagnetics Research Symposium.Conference Paper 2(May)- pp. 1123-1

Stabilization of Unstable Periodic Solutions for Inverted Pendulum UnderHysteretic Control: The Magnitskii Approach.

Semenov M.E., Meleshenko P.A., Ishchuk I.N.,Tyapkin V.N., Abbas Z.H. // In: Korobeinikov A., Caubergh M., Lázaro T., Sardanyés J. (eds). Trendsin Mathematics - 2-vol. - pp 245

Помогаем с подготовкой сопроводительных документов

Совместно разработаем индивидуальный план и выберем тему работы Подробнее

Помощь в подготовке к кандидатскому экзамену и допуске к нему Подробнее

Поможем в написании научных статей для публикации в журналах ВАК Подробнее

Структурируем работу и напишем автореферат Подробнее

Хочешь уникальную работу?

Больше 3 000 экспертов уже готовы начать работу над твоим проектом!

Работы пишу исключительно сама на основании действующих нормативных правовых актов, монографий, канд. и докт. диссертаций, авторефератов, научных статей. Дополнительно... Читать все

Работы пишу исключительно сама на основании действующих нормативных правовых актов, монографий, канд. и докт. диссертаций, авторефератов, научных статей. Дополнительно занимаюсь английским языком, уровень владения - Upper-Intermediate.

#Кандидатские #Магистерские

39 Выполненных работ

Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и... Читать все

Серьезно отношусь к тренировке собственного интеллекта, поэтому постоянно учусь сама и с удовольствием пишу для других. За 15 лет работы выполнила более 600 дипломов и диссертаций, Есть любимые темы - они дешевле обойдутся, ибо в радость)

#Кандидатские #Магистерские

76 Выполненных работ

Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым напра... Читать все

Имеется большой опыт написания творческих работ на различных порталах от эссе до кандидатских диссертаций, решения задач и выполнения лабораторных работ по любым направлениям физики, математики, химии и других естественных наук.

#Кандидатские #Магистерские

5 Выполненных работ

Кандидат технических наук. Специализируюсь на выполнении работ по метрологии и стандартизации

#Кандидатские #Магистерские

836 Выполненных работ

Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных с... Читать все

Практический стаж работы в финансово - банковской сфере составил более 30 лет. За последние 13 лет, мной написано 7 диссертаций и более 450 дипломных работ и научных статей в области экономики.

#Кандидатские #Магистерские

56 Выполненных работ

Практически всегда онлайн, доработки делаю бесплатно. Дипломные работы и Магистерские диссертации сопровождаю до защиты.

#Кандидатские #Магистерские

1077 Выполненных работ

Высшее экономическое образование. Мои клиенты успешно защищают дипломы и диссертации в МГУ, ВШЭ, РАНХиГС, а также других топовых университетах России.

#Кандидатские #Магистерские

108 Выполненных работ

Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уни... Читать все

Закончила ГУУ с отличием "Бухгалтерский учет, анализ и аудит". Выполнить разные работы: от рефератов до диссертаций. Также пишу доклады, делаю презентации, повышаю уникальности с нуля. Все работы оформляю в соответствии с ГОСТ.

#Кандидатские #Магистерские

0 Выполненных работ