Моделирование гидравлических и электрических цепей на основе теории вырожденных систем интегро-дифференциальных уравнений

Актуальность исследования. В настоящее время многие эксперименталь- ные исследования можно заменить на исследование математических моделей физических процессов или технических устройств. Особенно это актуально при создании тренажеров рабочих мест энергетических и химических устано- вок. Многие модели в технических системах (на cовременном уровне модели- рования) описываются взаимосвязанными системами дифференциальных, ин- тегральных и алгебраических уравнений, которые можно записать в виде си- стем интегро-дифференциальных уравнений с матрицей неполного ранга перед старшей производной искомой вектор-функции. Алгебраические уравнения от- вечают за наличие в моделях балансовых соотношений, в частности, законов сохранения или уравнений состояния, системы дифференциальных уравнений описывают динамику процесса. Если процесс обладает последействием, то ма- тематическая модель может включать и интегральные уравнения. Такие системы принято называть вырожденными системами интегро-дифференциальных урав- нений (ИДУ).
Численное решение краевых и начальных задач для вырожденных систем ИДУ сопряжено с большими трудностями: не существует достаточно развитой теории вырожденных систем ИДУ (недостаточно исследованы свойства разре- шимости, устойчивости решения к малым возмущениям, устойчивости в смыс- ле Ляпунова и т.д.); при переходе к дискретному аналогу вырожденных систем ИДУ существенно меняются свойства разрешимости (исходная задача может иметь решение, а ее дискретный аналог при сколь угодно малом шаге дискре- тизации нет; может иметь место и обратная ситуация); начальные или краевые условия должны принадлежать определенным многообразиям в пространстве фазовых переменных; сколь угодно малое возмущение входных данных может повлечь сколь угодно большое изменение решений.
7
В частности, модели гидравлических и электрических цепей (ГЦ и ЭЦ) описываются вырожденными системами ИДУ. С практической точки зрения ак- туальность обусловлена тем, что модели гидравлических и электрических цепей являются составной частью моделей сложных энергетических установок (па- ровых котлов, турбин, систем регенераций либо всего комплекса энергоблока тепловых электростаций). От качества моделирования гидравлических и элек- трических цепей существенно зависит качество комплексной модели всей энер- гоустановки.
Обзор литературы по теме диссертации. В течение последних сорока лет большое внимание уделяется системам дифференциальных уравнений с матри- цей неполного ранга или вырожденными оператором в области определения при старшей производной искомой вектор-функции и численным методам их реше- ния [9;17;41;74–76]. Вырожденные системы ИДУ и особенно численные методы решения краевых задач для них в прошлое тридцатилетие исследовались фраг- ментарно. Сейчас это быстро растущая область исследования. Ранее изучались только постановки начальных задач. Краевые задачи практически не рассматри- вались. Методы, применяемые в других работах (см., например, [4; 7]) при ре- шении краевых задач для дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), сложно адаптировать к нашим задачам. А для систем с прямоугольными матри- цами коэффициентов это сделать и вовсе невозможно. Для вырожденных систем ИДУ, если число уравнений больше размерности искомой вектор-функции, то системы принято называть переопределенными. Если число уравнений меньше размерности искомой вектор-функции, то такие системы называются недоопре- деленными. Переопределенным и недоопределенным системам соответствуют системы ИДУ с прямоугольными матрицами коэффициентов при старших про- изводных искомой вектор-функции. Если число уравнений совпадает с размер- ностью искомой вектор-функции, то будем их называть замкнутыми системами. Для замкнутых систем неполнота ранга матрицы перед старшей производной искомой вектор-функции эквивалентна тому, что определитель матрицы равен

8
нулю. Замкнутые системы рассматривались в работах В.Ф. Чистякова [98; 100], М.В. Булатова [19–24], Е.В. Чистяковой [90–95], С.С. Орлова, М.В. Фалалее- ва [85–88], В.К. Горбунова [30; 31], Е.Б. Кузнецова [40], С.С. Дмитриева [36], и т.д. Незамкнутые системы рассматриваются в диссертации впервые.
Диссертационная работа посвящена разработке теории начальных и крае- вых задач для вырожденных систем ИДУ. На основе этих разработок построены и исследованы модели, возникающие в теории нелинейных гидравлических и электрических цепей (ГЦ и ЭЦ). В таких моделях физические принципы моде- лирования взяты из работ О.А. Балышева, Э.А. Таирова [12] и Е.И. Ушакова [84].
В предыдущих поколениях моделей ГЦ для расчета использовали систе- мы алгебраических или дифференциально-алгебраических уравнений (АУ или ДАУ). Такие модели разрабатывались и исследовались в трудах А.П. Меренкова, В.Я. Хасилева [51], Н.Н. Новицкого [53], Е.В. Сенновой [68–71], Б.М. Кагано- вича [38; 39], М.Г. Сухарева [77–79], Ф.А. Вульмана [25], Д.Ф. Петерсона [66], К.Р. Айда-Заде [10], А.А. Логинова [47; 48], А.А. Левина [43–46], Э.А. Таиро- ва [81; 82], Е.В. Чистяковой [5] и т.д. В диссертации описываются модели ГЦ с автоматическими регуляторами в виде вырожденных систем ИДУ.
Итак, исследуемые в диссертации математические модели можно записать в виде вырожденных систем ИДУ
( ) ̇ + Γ( , , ) = 0, ∈ = [ , ], ( 1) где ( ) – ( × )-матрица, Γ( , , ) – вектор-функция соответствующей раз-

мерности, ∈ R , ∈ R , = ̃( , , ( )) – оператор Вольтерра, точнее

говоря, Γ : R ×R × → R , ̃ : × ×R → R . Предполагается, что
входные данные достаточно гладкие и выполнено условие
rank ( ) < min{ , } ∀ ∈ . ( 2) Если = , то условие (B2) эквивалентно равенству det ( ) ≡ 0 ∀ ∈ . 9 Для системы (B1) обычно задаются либо начальные ( ) = , – задан- ный вектор из R , либо краевые условия ( ( ), ( ))=0, :R ×R →R . ( 3) В работе рассматривается только классические решения. Под решением задачи (B1), (B3) будем понимать любую вектор-функцию ( ) ∈ C1( ), которая обра- щает равенства (B1), (B3) в тождества при подстановке. Для существования классических решений начальных задач ( ) = , где – заданный вектор, для системы ( 1) необходимо выполнение условия Кронекера-Капелли в начальной точке rank ( ) = rank( ( )| − Γ( ,0, )). Иначе ̇( ) в ( 1) не существует. Следовательно, не существует ( ) ∈ C1( ). Пример. Пусть задана система    1 −1 0 0 1( ) 1   ̇+  + ( , ) ( ) −  = 0, (0) =  , ∈ [0,1]. 00110 2( ) 2 Для существования классических решений этой системы необходимо условие Кронекера-Капелли. Из него вытекает, что 1 + 2 − 2(0) = 0. Мы знаем, что решения линейных систем ИДУ в нормальной форме ̇+ ( ) + ( , ) ( ) = , ∈ , ( )= , удовлетворяют неравенству ∈ , ̇ + ( ) + ( , ) ( ) = , ( ) = , ‖ − ‖C( ) ≤ , = , если справедливы оценки ‖ ( )− ( )‖C( ) ≤ , ‖ ( , )− ( , )‖C( )( × ) ≤ , ‖ − ‖C( ) ≤ , ‖ − ‖C( ) ≤ . 10 Здесь ( ), ( ), ( , ), ( , ) − ( × ) – непрерывные матрицы, ≡ ( ), ≡ ( ) – известные непрерывные вектор-функции, , – известные вектора из R . Выпишем систему ИДУ   0110 01   ̇ +   +   ( ) = , ∈ = [0,1]), ( 4) которая на отрезке имеет единственное решение для любой ∈ C2( ) 0001000   = ( ) −  01 00   ̇( ) + 0 ( )  . Если правые части системы (В4) взять в виде вектор-функций ( )=(01)⊤, ( )=(01+√ sin / )⊤, то для соответствующих им решений , имеем  √ √  ‖ − ‖ = (1/ + )cos →∞, C( )  √  sin C( ) хотя ‖ − ‖C( ) → 0 при → 0. В примере (В4) мы можем потребовать ма- лость отклонения − не в пространстве C( ), а в пространстве C1( ), и таким образом восстановить в некотором смысле непрерывность решений по ( ). К сожалению выбор метрики, в которой малы возмущения, не всегда дает такой эффект: произвольно малые и сколь угодно гладкие возмущения матриц коэффициентов могут менять размерность пространства решения ИДУ даже в линейном случае. Рассмотрим систему (В4) в случае, когда ( , ) ≡ 0  01 10   ̇ +   = ( ) , > 0
00 1
в отличие от исходной ИДУ имеет однопараметрическое семейство решений

−  1 ( , ) = / 1 + 0 ,

11
где – произвольное число из R1. Очевидно, что если ̸= 0, то ‖ − ‖ ( ) → ∞ при → 0.
Для примера (В4) условие Кронекера-Капелли необходимо, но недостаточно. Для вектора = (3 1)⊤ выполнено это условие, но 1(0) ≡ 0.
Целью диссертационной работы является исследование разрешимости вы- рожденных систем ИДУ и начальных, краевых задач для них, конструирование численных методов решения таких систем и применение для расчета динамики сложных ГЦ, ЭЦ.
При написании диссертации решались следующие конкретные задачи:
1. Получение критериев разрешимости вырожденных систем ИДУ и на-
чальных, краевых задач для них;
2. Разработка численных методов и создание комплекса программ, реали-
зующих эти методы;
3. Разработка моделей ГЦ, ЭЦ с автоматическими регуляторами на основе
теории вырожденных систем ИДУ;
4. Применение полученных результатов к исследованию математических
моделей.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются вы-
рожденные системы ИДУ; модели ГЦ и ЭЦ с автоматическими регуляторами, записанные в виде вырожденных систем ИДУ. Предметом исследования явля- ются поиск критериев разрешимости начально-краевых задач для вырожденных систем ИДУ; разработка методов численного решения систем ИДУ с матрицей неполного ранга перед старшей производной искомой вектор-функции; исследо- вание свойств математических моделей ГЦ и ЭЦ, записанных в виде вырожден- ных систем ИДУ.
Методы исследования. В работе использованы результаты из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений типа Вольтерра, теории дифференциальных, интегральных операторов, теории мат-

12
риц, а также сведения из теории ГЦ и ЭЦ. При исследовании численного реше- ния вырожденных систем ИДУ использованы основы метода наименьших квад- ратов и теории конечно-разностных схем. Для создания программ, реализующих численные методы решения начальных, краевых задач для вырожденных систем ИДУ и комплекса программ, моделирующих ГЦ и ЭЦ, использована среда разра- ботки Matlab версии 7.11.0.584 (R2010b) в операционной системе Window 7×32 бита.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгими дока- зательствами теорем существования решений вырожденных систем ИДУ и начально-краевых задач для них, доказательствами сходимости предлагаемых численных методов и расчетами тестовых примеров. Достоверность математи- ческих моделей ГЦ и ЭЦ базируется на наблюдениях прошлых лет за функцио- нированием реального оборудования.
Тематика работы соответствует следующим пунктам паспорта специаль- ности 05.13.18: п. 1 «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»; п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитиче- ских методов исследования математических моделей»; п. 3 «Разработка, обос- нование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий»; п. 5 «Комплексные исследования на- учных и технических проблем с применением современной технологии матема- тического моделирования и вычислительного эксперимента».
Научная новизна
1. Создана теоретическая основа для численного исследования вырожден- ных систем ИДУ: доказаны теоремы существования и единственности решений начальных и краевых задач для вырожденных систем ИДУ, включая системы с прямоугольными матрицами коэффициентов. Си- стемы с прямоугольными матрицами коэффициентов исследованы впер- вые. Разработаны новые численные методы на основе методов наимень- ших квадратов и разностных схем, позволяющие находить приближен-

13
ные решения начальных, краевых задач для вырожденных систем ИДУ. Получены оценки скорости сходимости этих методов к точным реше- ниям таких задач.
2. Впервые проведены аналитическое и численное исследования матема- тических моделей ГЦ и ЭЦ с автоматическими регуляторами в виде вырожденных систем ИДУ и учетом состояния среды на ветвях: пар, вода, пароводяная смесь.
3. Разработан комплекс программ нахождения приближенного решения краевых задач для вырожденных систем ИДУ, и начальных задач, опи- сывающих модели ГЦ и ЭЦ с автоматическими регуляторами. Раз- работанный комплекс программ позволяет проводить вычислительные эксперименты для модельных и реальных задач, исследовать свойства предложенных алгоритмов (в частности, оценивать обусловленность линейных алгебраических систем, к решению которых сводится реа- лизация алгоритмов).
Теоретическая значимость
1. Предложен метод формирования вырожденных систем ИДУ, описыва- ющих ГЦ и ЭЦ при наличии автоматических регуляторов и различных законов падения давлений на ветвях ГЦ.
2. Доказаны теоремы существования и единственности решений вырож- денных систем ИДУ.
3. Построены численные методы решения для таких систем.
Практическая значимость результатов исследования заключается в сле- дующем:
1. Модель, рассматриваемая в работе, представляет составную часть мо- дели прямоточного котла и турбины, которые являются частью обору- дования тепловой электростанции. Полные модели включают в себя си- стемы, состоящие из сотен алгебраических, дифференциальных и инте- гральных уравнений. Полное теоретическое исследование таких боль-

14
ших систем не представляется возможным. На компактных моделях, рассматриваемых в данной диссертации, предполагается отрабатывать принципиальные вопросы построения полных моделей;
2. Разработанная программная система позволяет реализовать модели ГЦ и ЭЦ и рассчитывать режимы работы этих моделей.
Апробация. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конферен- циях:
– Всероссийская молодёжная научно-практическая конференция «Малые Винеровские чтения», г. Иркутск, 2013 г.;
– Ляпуновские чтения, ИДСТУ СО РАН, 2013 г.;
– Всероссийская молодежная научно-практическая конференция «Малые
Винеровские чтения», г. Иркутск, 2014 г.;
– IV международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремаль-
ные задачи», г. Иркутск, 2014 г.;
– XIX Байкальская Всероссийская конференция «Информационные и ма-
тематические технологии в науке и управлении», г. Иркутск, 2014 г.;
– XV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому
моделированию и информационным технологиям. г. Тюмень, 2014 г.;
– Международная конференция «Дифференциальные уравнения и матема-
тическое моделирование». г. Улан-Удэ, 2015 г.
Результаты диссертационного исследования неоднократно сообщались на
научных семинарах кафедры Вычислительной техники Иркутского националь- ного исследовательского технического университета (рук. – к.т.н., доцент Доро- феев А.С.).
Материалы диссертации опубликованы в журналах, трудах и тезисах на- учных конференций [56–64]. Статьи [3; 61; 62] опубликованы в журналах, вклю- ченных в список ВАК и SCOPUS: Вестник ЮУрГУ, серия «Математическое моделирование и программирование», Известия ИГУ, серия «Математика». По-

15
лучены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ No 2014615157 от 20 мая 2014 г. [54] и No 2015660014 от 21 сентября 2015 г. [55].
Личный вклад. Все результаты получены лично соискателем. Руководи- телю и соавтору принадлежат некоторые постановки задач, рассматриваемых в диссертации. Все необходимые заимствования отмечены ссылками на соответ- ствующие литературные источники.
Структура и объём диссертации. Диссертация включает в себя следую- щие разделы: введение, 4 глав, заключения, список литературы и приложения.
Во введении обоснована актуальность направления исследований, обрисо- ван класс задач, которые приводят к необходимости решать системы, содержа- щие алгебраические дифференциальные и интегральные уравнения, а также дан обзор текущей литературы по теме диссертации.
Глава 1 посвящена разрешимости вырожденных систем ИДУ, включая под- ходы к определению индекса. В ней получены теоремы разрешимости началь- ных и краевых задач для линейных и квазилинейных систем ИДУ.
В главе 2 рассматриваются численные методы решения начальных и крае- вых задач для вырожденных систем ИДУ.
Глава 3 посвящена описанию и исследованию математической модели ГЦ и ЭЦ с автоматическими регуляторами на основе вырожденных систем ИДУ.
Глава 4 посвящена описанию комплекса программ для решения исследуе- мых задач на языке Matlab.
В заключении подведены итоги проделанной работы и перечислены ос- новные научные результаты диссертации.
Список использованной литературы составлен в алфавитном порядке, включает в себя 100 ссылок.
В приложении прилагаются полученные свительства регистрации про- грамм для ЭВМ.