Нелинейные стохастические системы в зонах порядка и хаоса: математическое моделирование, анализ и управление: диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук : 05.13.18

В настоящее время для изучения динамических процессов, наблюдаемых в разных обла- стях естествознания, широко используются математические модели в форме нелинейных дифференциальных или разностных уравнений. Переход от об- работки эмпирических и экспериментальных данных к построению и анали- зу адекватных математических моделей позволяет существенно продвинуться в понимании механизмов сложных процессов в механике жидкостей и газов, климатических изменений, динамике нейронных и популяционных систем, хи- мической кинетике и т.п., и перейти к решению актуальных задач управления такими процессами.
Присутствие случайных возмущений является неизбежным атрибутом функционирования любой реальной системы. Взаимосвязь нелинейности и сто- хастичности зачастую приводит к новым явлениям, не имеющим аналогов в исходных детерминированных моделях. В настоящее время насущной зада- чей математического моделирования является разработка новых подходов и универсальных математических методов, ориентированных на конструктив- ный анализ таких явлений в нелинейных стохастических моделях современно- го естествознания.
Если в детерминированном случае такой универсальный математический подход, использующий бифуркационный анализ и теорию устойчивости, в на- стоящее время достаточно хорошо разработан, то теория и методы нелинейного стохастического анализа еще только формируются. Основным инструментом исследования нелинейных стохастических систем пока остается прямое чис- ленное моделирование, что является чрезвычайно затратным в задачах пара- метрического анализа.
Первые математические модели, использующие стохастические диф- ференциальные уравнения, появились в работах С.Н.Бернштейна [1], И.И.Гихмана [2] и К.Ито [3]. В настоящее время стохастические уравнения Ито и их модификация, предложенная Р.Л. Стратоновичем [4], служат базо- вой моделью при исследовании влияния случайных возмущений на поведение
6
динамических систем [5]. Развитие стохастического анализа привело к появле- нию новых моделей с интегралами по мартингалам, точечным и Леви процес- сам [6–8].
Современная теория устойчивости и управления стохастическими дина- мическими системами формировалась в работах таких ученых как Н.Н. Кра- совский, Р.З. Хасьминский, И.Я. Кац, H.J. Kushner, W.H. Fleming, В.Б. Колма- новский, А.Б. Куржанский, Г.Н. Мильштейн, П.В. Пакшин, Ф.Л. Черноусько, Б.И. Ананьев, M. Aoki, L. Arnold, K.J. Astrom, R.E. Kalman, R.S. Bucy, X. Mao, J.L. Willems, W.M. Wonham и многих других (см. [9–21] и библиографию в них).
Основы анализа результатов воздействия стохастических возмущений на осцилляционные режимы нелинейных динамических систем были заложены в работе Л.С. Понтрягина, А.А. Андронова и А.А. Витта [22]. В дальнейшем, эти исследования продолжились в работах Р.Л. Стратоновича, С.М. Рытова, Ю.И. Неймарка, П.С. Ланда, В.В. Болотина, М.Ф. Диментберга, В.С. Ани- щенко, Т.Е. Вадивасовой, А.А. Короновского, А.Е. Храмова, В.И. Некоркина, С.П. Кузнецова, А.Б. Неймана, А. Пиковского, А.А. Дубкова, R.A. Ibrahim, W. Horsthemke, R. Lefever, J. Duan, A. Pisarchik, J. Kurths, B. Spagnolo, S. Boccaletti и других (см. [23–36] и библиографию в них).
Сочетание нелинейности и стохастичности может приводить к неожи- данным и зачастую контринтуитивным динамическим явлениям, не имею- щим детерминированных аналогов. В настоящее время интенсивно исследу- ются такие нелинейные стохастические явления, как вызванные шумом пере- ходы [30,33,37–40], стохастические бифуркации [41–46], стохастический и коге- рентный резонанс [47–55], вызванный шумом порядок и хаос [56–60], вызванная шумом синхронизация [32, 36], возбудимость [61–64], перемежаемость [65–67], мультимодальность [68,69], вызванные шумом кризисы [70,71].
Подобные явления, свидетельствующие о конструктивном характере шу- мов, обнаружены во многих нелинейных стохастических системах, моделирую- щих реальные процессы, относящиеся к различным областям естествознания. В частности, такие стохастические явления наблюдаются и в обсуждаемых в диссертации направлениях, связанных с механикой потоков [72–74], с химиче- ской кинетикой [75–78], с популяционной динамикой [79–86], с нейронной ак- тивностью [48,61,87–92], с климатической и вулканической динамикой [93–97].
Основным инструментом исследования нелинейных стохастических си- стем пока остается прямое численное моделирование [98, 99]. В рамках это- го чрезвычайно затратного метода сложно получить ясные параметрические

7
описания разнообразных стохастических режимов исследуемых моделей. Для проведения детального параметрического анализа, позволяющего выяснить ве- роятностные механизмы этих новых стохастических явлений, требуется разра- ботка аналитических подходов.
Сравнительный анализ представленного в литературе широкого круга нелинейных стохастических эффектов позволяет выделить главные причины, их вызывающие. В исследовании индуцированных шумами переходов опре- деляющую роль играет взаимное расположение разброса случайных состоя- ний вокруг аттракторов и сепаратрис, разделяющих их бассейны притяже- ния. Исчерпывающее описание динамики вероятностных распределений в мо- делях, использующих стохастические дифференциальные уравнения, дается соответствующим уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова. Аналитическое решение этого уравнения возможно только в одномерном случае, а в общем случае систем с малыми шумами здесь возникают известные сложности ана- лиза уравнений с малыми коэффициентами при старших производных. В этих обстоятельствах важны подходы, дающие конструктивные аппроксимации для искомых статистических характеристик. В частности, разработан метод, свя- занный с обрывом бесконечной последовательности уравнений для моментов высших порядков. При этом, как правило, ограничиваются первыми двумя моментами [29]. Методы стохастического усреднения в системах с малым па- раметром развивались в работах [23,26]. Из приближенных методов можно так- же отметить широко используемые аппроксимации в переменных амплитуды и фазы [23,30,100]. Для класса быстро-медленных нелинейных систем диффе- ренциальных уравнений возможные асимптотические аппроксимации обсуж- даются в [48,101–103]. В настоящее время хорошо известен общий подход, ис- пользующий при асимптотической аппроксимации плотности распределения в системах с малыми шумами так называемый квазипотенциал [104]. Данный метод активно развивался в работах [105–110].
В условиях локализации случайных состояний в окрестности детерми- нированного аттрактора для квазипотенциала можно эффективно использо- вать квадратичную аппроксимацию. В случае равновесия и цикла эта квадра- тичная аппроксимация была построена в [111]. Параметры соответствующей квадратичной формы задаются матрицей, получившей в дальнейшем назва- ние матрицы стохастической чувствительности. Метод функций стохастиче- ской чувствительности, использующий другой подход, связанный с системами первого приближения, развивался в цикле совместных работ [112–114] автора диссертации. В [115], этот метод был распространен на случай квазипериоди-

8
ческих аттракторов. Обзор метода функций стохастической чувствительности для стохастических дифференциальных уравнений с гауссовскими белыми шу- мами представлен в монографии [116].
Во многих реальных процессах адекватной математической моделью дей- ствующих случайных возмущений являются цветные шумы, имеющие те или иные характерные корреляционные временные характеристики [117,118]. Важ- ная роль цветных шумов была обнаружена во многих системах самой разной природы, например, в лазерах [119], сейсмологии [120], биохимии [121], дина- мике популяций [122], кинетике роста микроорганизмов [123], динамике роста опухолей [124]. Воздействие цветных шумов может приводить к таким явлени- ям, как индуцированные случайными возмущениями переходы [118,125,126], стохастический резонанс [127], вызывать стохастические бифуркации [128] и трансформации порядок-хаос [129]. Для анализа вероятностных механизмов этих явлений несомненно актуальным является представленное в диссертации распространение теории стохастической чувствительности на случай систем с цветными шумами.
Изучение взаимного влияния стохастических и периодических возмуще- ний на поведение нелинейных динамических систем является темой обшир- ных исследований. Даже в детерминированном случае, динамические системы с периодически меняющимися параметрами являются широко распространен- ными математическими моделями в естествознании и технике. Например, в анализе динамики популяционных и климатических систем важную роль иг- рают изменения внешних условий, связанные с суточными и сезонными рит- мами. Такие системы могут демонстрировать разнообразие динамических ре- жимов с периодическими, апериодическими и даже хаотическими колебани- ями. Для исследования детерминированных систем с периодическими коэф- фициентами активно используются различные подходы, основанные на тео- рии возмущений и усреднений, методе точечных отображений [130, 131]. Для линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами разработана фундаментальная математическая теория [132]. Взаимодействие нелинейности, периодичности и стохастичности может привести к различным неожиданным динамическим явлениям [133–135]. Здесь классическим приме- ром является стохастический резонанс [49,50,136]. Конструктивная роль шума в периодических системах привлекает внимание многих исследователей (см., например, [30,33,100,137–144]). Здесь, как правило, рабочим инструментом яв- ляется прямое численное моделирование. Представленное в диссертации раз- витие авторского аналитического метода стохастической чувствительности для

9
исследования нелинейных систем с периодическими и случайными возмуще- ниями является актуальным теоретическим направлением.
Наряду со стохастическими дифференциальными уравнениями, при мо- делировании случайных процессов в естествознании широко используются дис- кретные нелинейные отображения [145]. Даже одномерные дискретные модели позволяют моделировать широкий круг динамических режимов, как регуляр- ных, так и хаотических. Для дискретных моделей, присутствие случайных воз- мущений порождает не меньшее разнообразие интересных стохастических яв- лений, чем в системах с непрерывным временем. Исследование этих явлений, в подавляющем большинстве работ, основано на численном моделировании ре- шений стохастических дискретных систем и последующей статистической об- работке.
Математическое описание динамики вероятностных распределений в си- стемах с дискретным временем дается функциональными уравнениями с опе- раторами Перрона-Фробениуса [146,147]. Однако аналитическое решение таких уравнений, даже в одномерном случае, возможно только для специально подо- бранных примеров. Для аппроксимации вероятностных распределений случай- ных состояний вокруг детерминированных аттракторов (равновесий и циклов) дискретных систем, в работах [148,149] был разработан аналог функции стоха- стической чувствительности, полученной ранее для непрерывного случая. Ис- следования показали, что в случае шумов, зависящих от состояния системы, этот метод аппроксимации может занижать значения дисперсии. Здесь постро- ение более точных аппроксимаций, учитывающих специфику параметрических шумов, представляется важной исследовательской задачей диссертации.
В системах, задаваемых отображениями, наряду с равновесиями и дис- кретными циклами возможен еще один тип регулярного аттрактора – замкну- тая инвариантная кривая. Возникновение такого аттрактора связано с бифур- кацией Неймарка-Сакера [150,151], в результате которой равновесный режим трансформируется в квазипериодический.
В результате последовательных бифуркаций удвоения периода дискрет- ных циклов, разрушения инвариантных кривых и бифуркаций кризиса, в си- стеме появляются хаотические аттракторы [152–154]. Квазипериодические и хаотические осцилляции являются важными режимами функционирования во многих нелинейных системах с дискретным временем. Присутствие случайных возмущений вносит дополнительные сложности в их анализ [155–157]. Разра- ботка методов аппроксимации вероятностных распределений случайных со- стояний вблизи замкнутых инвариантных кривых и хаотических аттракторов

10
является важным шагом в исследовании динамики стохастических систем с такими аттракторами и понимании внутренних механизмов сложных вероят- ностных феноменов.
Таким образом, разработка конструктивных аналитических методов ап- проксимации вероятностных распределений вокруг регулярных и хаотических аттракторов является несомненно важной задачей современной нелинейной стохастической динамики. Практическая реализация этих теоретических ме- тодов в анализе разнообразных индуцированных шумами явлений требует раз- работки соответствующих алгоритмов и программ.
В настоящее время безусловно актуальной задачей является разработка конструктивных методов управления сложными колебательными режимами нелинейных систем. Здесь можно отметить технические проблемы по устране- нию вибраций в механических системах, подавлению нежелательных гармоник в электронных системах и т.п. Наряду с подавлением осцилляций, возникают и противоположные задачи генерации требуемых амплитудных и частотных ха- рактеристик. Для детерминированных систем такая теория достаточно хорошо развита (см. например [158–162]). В этом кругу особый интерес исследователей вызывает тематика, связанная с управлением хаосом [163–169]. Объектом ак- тивных исследований являются задачи управления колебаниями в нелинейных стохастических системах [111,170–175].
Переход от традиционно рассматриваемых задач стабилизации равновес- ных режимов к синтезу сложных колебательных процессов с наперед задан- ными вероятностными характеристиками, особенно в условиях информацион- ных и технологических ограничений, приводит к необходимости постановки и решения новых математических задач. В русле исследований, проводимых в данной диссертации, возникает новая постановка задачи управления, свя- занная с синтезом назначенной стохастической чувствительности рабочих ре- жимов, связанных с теми или иными аттракторами динамических моделей. Здесь возникает круг новых математических задач по исследованию вопросов управляемости, достижимости и построению регуляторов в условиях полной и неполной информации.
Проводимые автором математические исследования были во многом мо- тивированы необходимостью решать актуальные задачи, возникающие в нели- нейных стохастических моделях из разных разделов современного естество- знания, связанных с динамикой сложной жидкости, функционированием про- точных химических реакторов, протеканием реакций гликолиза, нейронной и популяционной динамикой, сложными динамическими явлениями в геофизи-

11
ке. Выявление общих закономерностей в моделях разной физической природы, формализация и разработка единого численно-аналитического подхода к ис- следованию наблюдаемых нелинейных стохастических явлений и решение но- вых задач управления делает тему диссертационной работы актуальной и важ- ной для современной стохастической теории нелинейных динамических систем ее приложений.
Цели и задачи диссертационной работы
Целью работы является разработка новых методов математического мо- делирования, анализа и управления для сложных стохастических режимов нелинейных динамических систем в зонах порядка и хаоса, а также приложе- ние этой теории к решению актуальных исследовательских задач в различных разделах естествознания.
Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи.
Основные задачи
1. Разработка методов асимптотической аппроксимации вероятностных распределений вблизи регулярных (равновесия, циклы, замкнутые инвариант- ные кривые) и хаотических аттракторов дискретных динамических систем с шумами, зависящими от состояния.
2. Развитие техники стохастической чувствительности для непрерывных динамических систем с цветными шумами и периодическими возмущениями.
3. Построение общей методики и создание комплекса алгоритмов и про- грамм для исследования широкого круга индуцированных шумами явлений, связанных со стохастическими переходами и бифуркациями в математических моделях с непрерывным и дискретным временем.
4. Разработка конструктивных методов управления для решения новых задач синтеза динамических систем с заданными вероятностными характери- стиками, в том числе и при неполной информации.
5. Применение разработанных методов математического моделирования, стохастического анализа и управления для решения ряда актуальных иссле- довательских задач, связанных со сложными стохастическими явлениями в потоках сложной жидкости, проточных химических реакторах, кинетике гли- колиза, нейронной и популяционной динамике, геофизике.
Научная новизна заключается в разработке универсальной методики математического моделирования, анализа и управления для широкого кру- га стохастических явлений, исследуемых в разных областях естествознания. Математической основой этой методики является аппарат аппроксимации ве-

12
роятностных распределений нелинейных стохастических систем, основанный на авторской технике функции стохастической чувствительности. Этот аппа- рат позволяет проводить конструктивное исследование новых стохастических явлений вблизи локальных и нелокальных бифуркаций в зонах порядка и хао- са, избегая затратного прямого численного моделирования в параметрическом анализе. Предложен и реализован новый численно-аналитический подход, учи- тывающий стохастическую чувствительность аттракторов и геометрию их бас- сейнов притяжения.
Теоретическая и практическая значимость работы
Диссертация решает научную проблему, состоящую в разработке общей теории математического моделирования и анализа сложных стохастических явлений в нелинейных стохастических системах. Предложен универсальный подход, позволяющий в рамках единой теории исследовать особенности ве- роятностных распределений вблизи регулярных и хаотических аттракторов в математических моделях с дискретным и непрерывным временем с общими параметрическими шумами, в том числе цветными. Результаты, полученные в диссертационной работе, позволяют продвинуться в понимании общих за- кономерностей индуцированных шумами переходов и бифуркаций на основе анализа стохастической чувствительности аттракторов и их бассейнов притя- жения. Предложенный подход к описанию сложных вероятностных явлений позволяет в рамках единой методики эффективно прогнозировать стохасти- ческие трансформации динамических режимов, проводить их количественный параметрический анализ и решать задачи управления, что имеет весьма широ- кую область потенциального применения в различных областях технических и естественных наук.
Теоретические разработки диссертации уже нашли применение в иссле- довании стохастических процессов в системах различной физической природы. Здесь можно отметить циклы работ по стохастическим явлениям в динамике связанных популяций, нейронной активности, кинетике гликолиза, термохими- ческих реакторах, макроэкономике, климатической динамике, вулканической и гейзерной активности. Результаты этих практических приложений разрабо- танной в диссертации теории опубликованы в авторитетных специализирован- ных научных журналах.
Методология и методы исследования
В качестве математических моделей систем в диссертации используются нелинейные системы стохастических дифференциальных и разностных урав- нений. Для их анализа применяется современная методология, опирающаяся

13
на математическую теорию локальных и нелокальных бифуркаций, аналити- ческие, асимптотические и численные методы теории случайных процессов, компьютерное моделирование.
В диссертации используются и развиваются авторские методы матема- тического моделирования и анализа нелинейных стохастических феноменов, использующие технику стохастических линейных расширений и аппарат функ- ций стохастической чувствительности. Для пространственного описания веро- ятностных распределений в диссертации развивается техника доверительных областей, метод главных направлений с привлечением метрики Махаланобиса.
Важно подчеркнуть, что эти подходы и методы автора диссертации поз- воляют в рамках единой теории охватить как традиционно исследуемые про- стые случаи аттракторов (равновесия, циклы на плоскости), так и достаточно сложные пространственные аттракторы дискретных и непрерывных систем в зонах перехода от порядка к хаосу, и проводить анализ воздействия не только аддитивных, но и параметрических случайных возмущений.
В решении задач стохастического синтеза используются методы управ- ления с помощью статических регуляторов с обратной связью, а также дина- мических регуляторов с фильтрацией зашумленных сигналов.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Спектральные критерии существования устойчивых стационарных вторых моментов стохастических линейных расширений нелинейных дискрет- ных систем с параметрическими шумами в случае равновесий и циклов. Кон- структивные алгоритмы для отыскания этих моментов.
2. Теория стохастической чувствительности для замкнутых инвариант- ных кривых двумерных отображений.
3. Теория стохастической чувствительности хаотических аттракторов одно- и двумерных отображений.
4. Теория стохастической чувствительности равновесий непрерывных си- стем с цветными шумами.
5. Теория стохастической чувствительности циклов неавтономных непре- рывных систем с периодическими возмущениями.
6. Техника математического моделирования распределений случайных состояний регулярных и хаотических аттракторов в форме доверительных об- ластей с привлечением техники функций стохастической чувствительности, метрики Махаланобиса и метода главных направлений.
7. Общая методика и комплекс алгоритмов и программ для исследова- ния широкого круга индуцированных шумом явлений на основе разработанной

14
теории стохастической чувствительности:
– стохастические переходы между сосуществующими аттракторами и их
частями;
– обратные стохастические бифуркации;
– стохастическая генерация новых режимов в зонах седло-узловых, ка-
сательных и кризисных бифуркаций, а также бифуркаций Андронова-Хопфа, Неймарка-Сакера, и удвоения периода;
– стохастическая возбудимость и генерация мультимодальных колебаний в моностабильных системах;
– бифуркация стохастического расщепления предельных циклов;
– индуцированная шумом генерация и подавление хаоса;
– стохастическая генерация фантомного аттрактора.
8. Теория и алгоритмы решения новых задач синтеза динамических си-
стем с заданными вероятностными характеристиками равновесных и осцилля- ционных режимов, в том числе и при неполной информации. Критерии управ- ляемости и достижимости в зависимости от геометрии управляющих воздей- ствий в задаче синтеза стохастической чувствительности. Конструктивные ме- тоды регуляризации в некорректной задаче управления стохастическим цик- лом. Новая техника управления доверительными областями в задаче струк- турной стабилизации и подавления хаоса.
9. Конструктивные методы, основанные на разработанной теории стоха- стической чувствительности, для исследования ряда актуальных задач в нели- нейных стохастических моделях современного естествознания:
– анализ индуцированных шумом осцилляций в модели течения сложной жидкости;
– исследование стохастической возбудимости и стабилизация в модели проточного химического реактора;
– анализ явления стохастической генерации осцилляций в модели Сель- кова кинетики гликолиза;
– исследование вероятностных механизмов стохастической возбудимости в непрерывных моделях нейронной активности Фицхью-Нагумо, Юлихера, Ходжкина-Хаксли и дискретных моделях Рулькова;
– анализ вызванных шумами экологических сдвигов и способов их предотвращения в дискретных и непрерывных моделях популяционной дина- мики;
– анализ вероятностных механизмов нелинейных стохастических явлений в моделях геофизики (динамика климата и вулканическая активность).

15
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, шести глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 388 страниц текста, включая 208 ри- сунков и список использованных источников, содержащий 341 наименования. Логика изложения материала в диссертационной работе построена следую- щим образом. Общий математический материал и результаты по аппроксима- ции вероятностных распределений вблизи аттракторов стохастических систем, полученные в первой и второй главе, являются основой для исследования ин- дуцированных шумом явлений в третьей главе и решения задач управления в четвертой главе. Результаты первых четырех глав используются в пятой гла- ве для анализа стохастических явлений в моделях естествознания. В шестой главе содержится описание комплекса разработанных программ.
Во Введении обоснована актуальность научной тематики диссертацион- ной работы, сформулированы ее цель и задачи, отражена научная новизна, приведены основные результаты, выносимые на защиту, дано краткое изло- жение диссертационной работы, и представлены сведения о достоверности и апробации результатов.
В первой главе развивается математический аппарат анализа вероят- ностных распределений нелинейных стохастических систем с дискретным вре- менем. В п.1.1 для системы линейного приближения вблизи равновесия ис- следуется динамика вторых моментов решений и доказывается Теорема 1.1, дающая спектральный критерий существования устойчивого равновесия для этих моментов. Исследуется асимптотика стационарных моментов при малых шумах, строится первое приближение, связанное с матрицей стохастической чувствительности. Здесь устанавливается связь этой матрицы с гауссовски- ми аппроксимациями плотности распределения вокруг равновесия и довери- тельными эллипсоидами. В п.1.2 эти результаты распространяются на случай дискретного цикла. В Теореме 1.2 дается спектральный критерий существо- вания устойчивого периодического решения системы вторых моментов, и да- ются спектральные мажоранты, позволяющие получить конструктивные до- статочные условия. Предлагается алгоритм построения этого периодического решения, выводятся явные формулы для одномерного случая. Для малых шу- мов строятся асимптотические разложения, устанавливается связь с последо- вательностью матриц, определяющих стохастическую чувствительность эле- ментов дискретного цикла. В п.1.3 теория стохастической чувствительности распространяется на более сложный осцилляционный аттрактор, задаваемый замкнутой инвариантной кривой. Детально разбираются случаи, когда эта

16
кривая состоит из равновесий, дискретных циклов и квазипериодических ре- шений. В п.1.4 развивается теория стохастической чувствительности хаотиче- ских аттракторов дискретных систем. Выводятся явные формулы для чувстви- тельности границ однокусочных и многокусочных хаотических аттракторов одномерных систем. Для хаотических аттракторов двумерных систем найде- на стохастическая чувствительность границ, полученных с помощью аппарата критических линий. Все теоретические результаты Главы 1 иллюстрируются на примерах.
В Главе 2 представлен соответствующий математический аппарат по ап- проксимации вероятностных распределений вокруг равновесий (п.2.1) и цик- лов (п.2.2) динамических систем, задаваемых стохастическими дифференци- альными уравнениями Ито. Здесь результаты, выносимые на защиту, пред- ставлены в п.2.1.3, где строится математическая теория стохастической чув- ствительности равновесия системы с цветными шумами, и в п. 2.2.4, где раз- вивается теория стохастической чувствительности циклов в системах с перио- дическими возмущениями.
Глава 3 посвящена применению представленного в главах 1, 2 общего математического аппарата по аппроксимации вероятностных распределений вблизи регулярных и хаотических аттракторов систем с дискретным и непре- рывным временем к исследованию стохастических переходов и бифуркаций. В п.3.1 излагаются методы анализа индуцированных шумами переходов между сосуществующими аттракторами, как регулярными, так и хаотическими. По- казано, как подобные переходы могут быть конструктивно исследованы с помо- щью аппарата доверительных областей и анализа их взаимного расположения с сепаратрисами, разделяющими бассейны притяжения аттракторов. В п.3.2 исследуются переходы между отдельными фрагментами сложных простран- ственных аттракторов, порождающие обратные стохастические бифуркации и трансформации от порядка к хаосу. В п.3.3 исследуются феномены стохастиче- ской генерации новых аттракторов в зонах возбудимости вблизи касательной бифуркации и бифуркации Андронова-Хопфа. Здесь также проведено деталь- ное исследование нового стохастического явления генерации так называемого фантомного аттрактора, состоящего в сдвиге распределения случайных состоя- ний в зону, где исходная детерминированная система не имеет никаких аттрак- торов. Это явление иллюстрируется на примере быстро-медленной системы и исследуется аналитически методом «замораживания» медленной переменной.
Глава 4 посвящена решению задач синтеза стохастических режимов в нелинейных динамических системах. Представленные здесь теоретические раз-

17
работки опираются на результаты глав 1-3. В п.4.1 рассматриваются и реша- ются задачи построения регуляторов, синтезирующих наперед заданные веро- ятностные характеристики в дискретных системах. П. 4.1.1 посвящен управ- лению стохастической чувствительностью равновесия. В Теореме 4.1 дан кри- терий полной управляемости, а в Теореме 4.2 описано множество достижи- мых матриц стохастической чувствительности. Эти теоремы содержат явные формулы для коэффициентов регулятора, синтезирующего наперед заданную матрицу стохастической чувствительности. В п.4.1.2 представлены результаты полного анализа достижимости в двумерном случае. В п.4.1.3 представлена теория управления при неполной информации (Теорема 4.3). В п.4.1.4 пред- ставлена теория управления стохастической чувствительностью дискретных циклов одномерных систем. П.4.2 посвящен решению задач синтеза стохасти- ческих режимов в системах с непрерывным временем. Материал п.4.2.1 по синтезу стохастической чувствительности равновесий в случае полной инфор- мации носит обзорный характер и предваряет вынесенные на защиту резуль- таты исследования случая неполной информации из п.4.2.2. Здесь Теорема 4.5. представляет условия достижимости и дает явные формулы параметров стати- ческого регулятора, решающего задачу стохастического синтеза. Необходимые условия в задаче минимизации стохастической чувствительности даны в Тео- реме 4.6. В этом пункте также приводятся результаты по синтезу динамиче- ского регулятора, использующего фильтр для зашумленного сигнала. В п.4.2.3 излагается теория управления стохастической чувствительностью предельных циклов. Для циклов на плоскости исследована ситуация, когда задача син- теза стохастической чувствительности становится некорректной. Здесь пред- лагается конструктивный метод регуляризации. Для синтеза стохастической чувствительности циклов трехмерных систем предлагается подход, использу- ющий технику сингулярных разложений. Конструктивные возможности этого подхода иллюстрируются на примере стабилизации цикла в модели Лорен- ца. В п.4.2.4 приведены результаты стабилизации стохастически возмущенных равновесных и колебательных режимов нелинейных осцилляторов в рамках новой концепции управления доверительными областями. В п.4.2.5 показано, как общие теоретические результаты по управлению стохастической чувстви- тельностью могут быть использованы в задаче структурной стабилизации и подавления хаоса.
В Главе 5 показано, как теоретические разработки предыдущих глав по методам математического моделирования, анализа и синтеза стохастических режимов в нелинейных системах могут быть использованы в решении акту-

18
альных исследовательских задач, относящихся к разным разделам естество- знания.
В п.5.1 исследуются стохастические эффекты в модели течения сложной жидкости. Здесь для многомерной дискретизации математической модели с помощью метода блочной декомпозиции построен алгоритм расчета стохасти- ческой чувствительности слоев стационарного потока, найдена параметриче- ская зона с высокой стохастической чувствительностью потока, что объясняет переходы в осцилляционные режимы с большими амплитудами. Для двумер- ной дискретизации проведен детальный анализ стохастической возбудимости равновесий с помощью метода доверительных областей. Найдена параметриче- ская зона циклов-канардов, имеющих сверхвысокую стохастическую чувстви- тельность.
В п.5.2 исследуется стохастический вариант модели проточного химиче- ского реактора. Здесь с помощью результатов главы 2 выясняются вероятност- ные механизмы стохастического возбуждения большеамплитудных колебаний. Для подавления этих нежелательных стохастических режимов используются методы управления, разработанные в главе 4.
В п.5.3 исследуется кинетика гликолиза в присутствии случайных возму- щений на примере стохастического варианта концептуальной модели Селько- ва. Здесь представлены результаты исследования стохастической чувствитель- ности равновесных и колебательных режимов, позволяющие прояснить веро- ятностные механизмы генерации мультимодальных осцилляций и перехода к хаосу.
П.5.4 посвящен приложению представленных главах 1,2,3 диссертации общих теоретических методов стохастического анализа к исследованию инду- цированных шумом явлений в нейронной динамике. Здесь рассматриваются дискретные и непрерывные модели, демонстрирующие качественное разнооб- разие стохастических режимов нейронной активности. В п.5.4.1 для одномер- ной дискретной модели Рулькова с помощью техники функции стохастической чувствительности изучаются такие стохастические эффекты как обратные сто- хастические бифуркации, стохастический берстинг, индуцированные шумом переходы «порядок-хаос-порядок», стохастический сдвиг точек бифуркации кризиса. Для двумерной модели Рулькова такой вероятностный анализ прово- дится вблизи бифуркации Неймарка-Сакера, где локализована параметриче- ская зона замкнутых инвариантных кривых канардовского типа и исследован эффект стохастического расщепления. В модели Фицхью-Нагумо с непрерыв- ным временем (п.5.4.2) исследуется стохастическая возбудимость под действи-

19
ем белых и цветных шумов, найдено значение времени корреляции, отвеча- ющее резонансу. В п.5.4.3 для модели волоскового пучка, осуществляющего механоэлектрические преобразования звуковых сигналов, изучаются механиз- мы стохастической возбудимости в параметрических зонах с одним равновеси- ем, двумя равновесиями и сосуществующими равновесием и циклом. Четырех- мерная нейронная модель Ходжкина-Хаксли изучается в п.5.4.4, где экспери- ментально обнаруженная высокая вариативность в стохастических колебаниях смешанных мод, сочетающих малоамплитудные осцилляции и большеампли- тудные спайки, исследуется с помощью техники функции стохастической чув- ствительности, метода главных направлений и метрики Махаланобиса.
В п.5.5 на базе концептуальных моделей популяционной динамики пока- зано, как разработанная математическая теория из глав 1, 2, 3 конструктивно используется в анализе вызванных шумами экологических сдвигов и решении задач предотвращения таких сдвигов с помощью управляющий воздействий. В п.5.5.1 для дискретной популяционной модели Рикера с Олли эффектом с помощью техники функции стохастической чувствительности исследованы пе- реходы с регулярных (равновесных и периодических) и хаотических режимов в зону вымирания, описан процесс сжатия параметрического региона выжи- вания при усилении демографического шума. Для предотвращения индуциро- ванного шумом вымирания построен регулятор обратной связи, обеспечиваю- щий структурную стабилизацию. В п.5.5.2 исследован стохастический вариант модели “хищник-жертва”с Олли эффектом и трофической функцией Холлин- га II типа, задаваемой стохастическими дифференциальными уравнениями с параметрическими шумами. Теоретические результаты п.4.2.4 по управлению доверительными областями используются здесь для решения задачи предот- вращения индуцированного шумом вымирания. Исследована достижимость и найдены коэффициенты стабилизирующих регуляторов для разной структуры управляющих воздействий. В п. 5.5.3 для модели, описывающей взаимодей- ствие фито- и зоопланктона, со случайными возмущениями размеров экологи- ческой ниши с помощью теоретических результатов глав 2,3 исследуются изме- нения численности популяции, связанные со стохастическими бифуркациями циклов-канардов, переходом к хаосу и генерацией фантомных аттракторов.
П. 5.6 посвящен приложению методов стохастического анализа из глав 2,3 к некоторым процессам из области геофизики. В п. 5.6.1 рассматривается стохастический вариант трехмерной климатической модели Зальцмана, связы- вающей изменение концентрации углекислого газа в атмосфере с динамикой массы льда и температуры в глубине океана. В этой модели была обнару-

20
жена интересная математическая особенность, связывающая анализ клима- тической динамики с исследованием поведения модели в зоне седло-узловой бифуркации на инвариантной кривой. Здесь для анализа стохастической ге- нерации большеамплитудных осцилляций конструктивно применяется метод доверительных эллипсов в сечениях Пуанкаре, отвечающих главным направ- лениям. В п.5.6.2 исследуются процессы вулканической активности на основе трехмерной нелинейной динамической модели с переменными, отвечающими за скорость вулканической пробки, давление магмы и объем канала. С помо- щью методов стохастического анализа, разработанных в диссертации, найдена параметрическая зона, где даже малые случайные возмущения коэффициен- тов трения в канале вулкана могут вызывать периодически повторяющиеся выбросы магмы значительных объемов.
В Главе 6 дается описание комплекса программ, реализующих разрабо- танные в рамках диссертационного исследования численные процедуры и ал- горитмы, позволяющие эффективно применять оригинальные методы модели- рования, анализа и управления стохастическими нелинейными динамическими системами. С помощью этого комплекса в диссертации решен широкий круг актуальных исследовательских задач, возникающих в современных разделах естествознания.
В Заключении подведены итоги и сформулированы основные результа- ты диссертационной работы, даны рекомендации и представлены перспективы дальнейшей разработки темы.
Достоверность и апробация результатов
Достоверность теоретических результатов обеспечивается строгими ма- тематическими выводами и доказательствами. Достоверность численных ре- зультатов подтверждается их воспроизводимостью, анализом погрешности, со- поставлением результатов, полученных аналитическими и численными мето- дами, совпадением результатов при использовании различных численных ме- тодов, соответствием известным из литературы результатам для аналогичных моделей, а также отсутствием противоречий с известными в научной литера- туре достоверными общепризнанными результатами.
Материалы диссертационной работы использовались при выполнении НИР, проводимых на кафедре теоретической и математической физики и лаборатории многомасштабного математического моделирования Уральско- го федерального университета, проектов Российского научного фонда (16-11- 10095, 16-11-10098), Российского фонда фундаментальных исследований (гран- ты 00-01-00076, 02-01-96418урал, 04-01-96098урал, 06-01-00625, 06-08-00396, 07-

21
01-96079-урал, 09-01-00026, 09-08-00048, 10-01-96022урал, 12-01-31210, 13-08- 00069, 14-01-00181, 16-08-00388, 20-01-00165), Министерства образования и на- уки РФ (1.1099.2011, 2.1267.2011, 14.A18.21.0364, 1.849.2017), Уральского ма- тематического центра (075-02-2020-1537/1).
Основные результаты диссертации были представлены в форме пригла- шенных, устных и стендовых докладов на таких международных конферен- циях как 5th International Conference on Dynamic Systems and Applications (2007, Atlanta); 3rd IFAC Workshop “Periodic Control System” (2007, Санкт- Петербург); 3rd International IEEE Scientific Conference on Physics and Control (2007, Potsdam); 4th International Scientific Conference on Physics and Control (2009, Catania); “Neural, Parallel, and Scientific Computations” (2010, Atlanta); Advanced Workshop on Anderson Localization, Nonlinearity and Turbulence: a Cross-Fertilization (2010, Trieste); 3rd Conference of Computational and Mathematical Population Dynamics (2010, Bordeaux); «Устойчивость и колеба- ния нелинейных систем управления» (2008, 2010, Москва); Моделирование, управление и устойчивость» (2012, Севастополь); International Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications (2013, Taiyuan); “Nonlinear Dynamics of Deterministic and Stochastic Systems: Unraveling Complexity” (2014, Сара- тов); XII Всероссийское совещание по проблемам управления (2014, Москва); «Динамика систем и процессы управления» (2014, Екатеринбург); 19th World Congress of the International Federation of Automatic Control (2014, Cape Town); Workshop on Dynamical Systems (2015, Trieste); «Теория управления и тео- рия обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби» (2015, Екатерин- бург); International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics (2014, 2015, Rhodes); Multistability and Tipping: From Mathematics and Physics to Climate and Brain (2016, Дрезден); Computational Methods in Sciences and Engineering (2016, Афины); Models in Population Dynamics and Ecology (2017, Cape Town); ”Structural and phase transformation in materials: Theory, computer modeling and experiment” (2017, Екатеринбург); 17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization (2017, Екатеринбург); 5Th International Conference on Complex Dynamical Systems in Life Sciences: Modeling and Analysis (2018, Aveiro); Conference of the Euro-American Consortium for Promoting the Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences (2017, 2018, Albena); Applications of Mathematics in Engineering and Economics (2019, Sozopol); Ural Symposium on Biomedical Engineering, Radioelectronics and Information Technology (2020, Екатеринбург).
Результаты работы опубликованы в реферируемых научных журналах,

22
таких как «Автоматика и телемеханика», «Прикладная математика и механи- ка», «Нелинейная динамика», «Компьютерные исследования и моделирование, «Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки», «Physical Review E», «Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science», «Europhysics Letters», «Physics Letters A», « Physica A: Statistical Mechanics and its Applications», «BioMed Research International», «Fluctuation and Noise Letters», «Journal of Difference Equations and Applications, International Journal of Bifurcation and Chaos», «European Physical Journal B», «Tellus A», «Discrete Dynamics in Nature and Society», «International Journal of Applied Mathematics and Computer Science», «International Journal of Control», «Nonlinear Dynamics», «Journal of the Franklin Institute», «Kybernetika», «Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation», «Theoretical Population Biology», «Mathematical Modelling of Natural Phenomena», «Chaos, Solitons and Fractals».
Научный уровень журналов, в которых опубликованы результаты авто- ра, характеризуются следующими показателями. Всего по теме диссертации опубликовано 96 статей. Все они индексируются в базах данных WOS или SCOPUS.
Представленный в диссертации математический аппарат по анализу сто- хастических явлений в нелинейных системах стал теоретической основой для международного сотрудничества. В ходе совместных исследований опублико- вано 17 статей с учеными из Центра Хаоса и Сложных Сетей Университета Гонконга, из Центра Биомедицинских Технологий Технического Университета Мадрида, из Университета Огайо (США), из Интердисциплинарной группы по теоретической физике Университета Палермо (Италия), из Группы Нелиней- ной динамики, Хаоса и Сложных систем Университета Мадрида. Авторская техника функций стохастической чувствительности и доверительных областей стала основой в исследованиях и других независимых зарубежных ученых в области математической теории нелинейных стохастических систем [176–179], гидродинамики [180, 181], микробиологии [182–184], популяционной динами- ки [185–187].
Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в 49 статьях [188–236]. Все они индексируются в базах данных WOS или SCOPUS, из них 20 опубли- кованы в журналах, имеющих квартиль Q1. При этом в 13 статьях диссертант является единственным автором.
Результаты, полученные в рамках выполнения настоящей диссертацион- ной работы, частично вошли также в материал трех коллективных моногра-

23
фий.
При выполнении диссертационной работы разработаны алгоритмы и
подготовлен комплекс компьютерных программ. На государственную реги- страцию были отправлены и получили свидетельства одиннадцать программ [237–247].
Личный вклад. Представленные в диссертации результаты получено автором лично, или при его непосредственном участии. Все результаты, выне- сенные на защиту, принадлежат лично соискателю.