Векторное энтропийное моделирование в задачах мониторинга многомерных стохастических систем : диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук : 05.13.18

Актуальность темы исследования
Понятие мониторинга системы вбирает в себя много разных аспектов.
Согласно энциклопедии «Гражданская защита», под мониторингом понимают
систему постоянного наблюдения за явлениями и процессами, проходящими в
окружающей среде и обществе, результаты которого служат для обоснования
управленческих решений по обеспечению безопасности людей и объектов
экономики [23]. В рамках системы наблюдения происходит оценка, контроль
объекта, управление состоянием объекта в зависимости от воздействия
определённых факторов [41]. Таким образом, задачи мониторинга включают в
себя, наряду с оценкой, контролем состояния, диагностикой системы, также
управление в виде управленческих решений.
Для стохастических систем энтропия является фундаментальным
свойством. Но несмотря на то, что этот термин очень часто используется в
современной науке, в задачах моделирования открытых систем использование
энтропии недостаточно формализовано. Существующие методы в основном
носят качественный и частный характер, отсутствуют достаточно простые и
адекватные математические модели, которые связывают энтропию с
фактическими характеристиками состояний многомерных стохастических
систем. Остается открытым вопрос интерпретации энтропии [47].
В математическом моделировании актуальна разработка единого подхода к
энтропийному моделированию многомерных стохастических систем, которые
бы учитывали энтропийный дуализм и возможность присутствия дискретных
случайных компонент, и стохастическую неоднородность экспериментальных
данных, а также его алгоритмическая и программная реализация.
Степень разработанности темы
Значительный вклад в создание и развитие теории энтропии внесли Р.
Клаузиус (R.J.E. Clausius) [18], Л. Больцман (L.E. Boltzmann) [10], Дж. Гиббс
(J.W. Gibbs) [21, 117], Р. Хартли (R.V.L. Hartley) [118], К. Шеннон (C.E. Shannon)
[106, 132], А.Н. Колмогоров [40], А. Реньи (A. Renyi) [131], Дж. фон Нейман (J.
von Neumann) [57], С. Кульбак (S. Kullback) [122], А.Я. Хинчин [99], К. Тсаллис
(C. Tsallis) [135], Дж. Ингленд (G.W. England) и Н. Мартин (N.F.G. Martin) [52] и
другие ученые.
Многие реальные системы можно классифицировать как сложные
многомерные стохастические системы. Особенностью таких систем является
наличие множества элементов, которые сложным образом связаны между собой.
Эти системы являются открытыми, т.е. могут обмениваться веществом, энергией
и информацией с окружающей средой. Влияние энтропии на эволюцию
открытых систем исследовалось в работах И. Стенгерса (I. Stengers), Г. Николиса
(G. Nicolis), И.Р. Пригожина (I.R. Prigogine) [59, 72, 73, 74], Ю.Л. Климонтовича
[37, 38, 39]. В этих публикациях говорится, что изменение открытых систем,
либо ведет к деградации, либо это процесс самоорганизации, в результате
которого появляются более сложные структуры.
И.Р. Пригожин в 1955 г. сформулировал расширенный вариант второго
начала термодинамики, согласно которому, полное изменение энтропии
открытой системы нужно представлять в виде двух частей: причиной первой из
них служат внутренние процессы, которые необратимы и непременно
сопровождаются переходом части энергии упорядоченных процессов в энергию
неупорядоченных процессов, в конечном счете – в теплоту; вторая часть
обусловлена обменом энергией и веществом между системой и окружающей
средой [71].
В настоящее время энтропию часто используют при моделировании
различных сложных систем (в экономике, технике, обществе, биологии,
механике, экологии, физике, лингвистике и др.). Можно выделить ряд авторов,
использовавших энтропию для построения математических моделей сложных
систем: Г.Н. Алексеев [2], И.Н. Бекман [5], О.Г. Берестнева [6], А.В. Волков, И.Н.
Еремина и А.Г. Саноян [16], Д.Г. Егоров [31], О.Л. Королев, М.Ю. Куссый и А.В.
Сигал [42], В.Л. Лазарев [45], А.П. Левич [47], Е.В. Луценко [48], Г.Г.
Малинецкий, А.Б Потапов и А.В. Подлазов [49], А.И. Пилипенко [66], Ю.С.
Попков [67, 68], А.К. Приц [76], Е.А. Седов [78], С.М. Скоробогатов [81], Ю.Л.
Соловьев [85], А.М. Хазен [97], В.И. Хрусталев [100], О.В. Цветков [101], О.В.
Чумак [103], А.Дж. Вильсон (A.G. Wilson) [14, 138], Э.Т. Джейнс (E.T. Jaynes)
[120], Д. Лурье (D. Lurie) и Дж. Вагенсберг (J. Wagensberg) [125, 136], Б.
Мандельброт (B.B. Mandelbrot) [51], Ф. Нельсон (F. Nelson) [127], У. Слейбо
(W.H. Slabaugh) и Т. Персонс (Th.D. Parsons) [82], М. Трибус (M. Tribus) [134], Г.
Хакен (H. Haken) [98], П. Эткинс (P.W. Atkins) [109] и др. Общим в этих работах
является использование информационной энтропии, предложенной К.
Шенноном [132] в 1948 г.
Анализ этих и других публикаций показал, что при моделировании
многомерных стохастических систем применение информационной энтропии
сталкивается с определенными проблемами.
Во-первых, требуется оценивать вероятности элементарных состояний
системы для расчета информационной энтропии. Поэтому, для обеспечения
достаточной точности вычисления энтропии, требуются большие выборки.
Во-вторых, часто возникают трудности, как с однозначным выделением у
сложной системы фиксированного конечного множества состояний, так и с тем,
что некоторые состояния заранее могут быть вообще не известны.
В-третьих, затруднено моделирование взаимосвязей между элементами
многомерных систем. А отсутствие возможности адекватного моделирования
взаимосвязей приводит к проблеме выбора энтропийного критерия
эффективности функционирования открытых систем. Ведь энтропия у них
может, как возрастать, так и уменьшаться. Обычно критерий эффективности
задается исходя из иных общих предпосылок, не учитывающих фактическое
состояние системы.
В-четвертых, информационная энтропия не учитывает изменения
дисперсии исследуемого процесса.
Результатом этого является то, что существующие адекватные энтропийные
модели реальных систем получены лишь при решении частных задач. Данная
проблема потенциально может быть устранена за счет использования
дифференциальной энтропии, предложенной К. Шенноном в той же работе [132].
Длительное время применение дифференциальной энтропии ограничивалось
только частным случаем многомерного нормального распределения [87, 114],
что ограничивало практическое использование дифференциальной энтропии.
В [94] получена формула, позволяющая избавиться при вычислении
дифференциальной энтропии необходимости знания или определения плотности
вероятности многомерной случайной величины. А также, для
дифференциальной энтропии был формализован сформулированный ранее И.Р.
Пригожиным дуализм изменения энтропии в термодинамике: энтропия
представлена как сумма энтропий хаотичности и самоорганизации.
Однако остается нерешенным вопрос интерпретации энтропии в
зависимости от области приложений [47]. Многие авторы отмечают [37, 74, 81,
116], что задачу повышения эффективности функционирования систем можно
представлять в виде увеличения или уменьшения ее энтропии. Но оценка
состояния системы и управление на основании энтропии как скалярной
величины оказывается во многих случаях не реализуемым из-за
разнонаправленного изменения энтропий хаотичности и самоорганизации.
Следует также отметить, что дифференциальная энтропия требует, чтобы
все компоненты стохастических систем являлись непрерывными случайными
величинами, что приводит к ограничению ее применения при моделировании.
Кроме того, в настоящее время недостаточно учитывается стохастическая
неоднородность экспериментальных данных, что также ограничивает
практическое использование энтропийной модели в задачах мониторинга систем
и других приложениях, в которых возникает данная проблема.
Таким образом, актуальны разработка единого подхода к энтропийному
моделированию многомерных стохастических систем, мониторингу и
управлению ими, которые учитывали бы энтропийный дуализм, присутствие
дискретных компонент и стохастическую неоднородность данных, а также его
алгоритмическая и программная реализация.
Цели и задачи исследования
Целью работы является разработка и исследование векторного подхода для
энтропийного моделирования многомерных стохастических систем различной
природы в задачах мониторинга, а также создание на его основе комплекса
алгоритмов и программ для практической реализации.
Достижение поставленной цели предполагает решение следующих задач:
1. Предложить и исследовать векторный подход для энтропийного
моделирования многомерных стохастических систем в задачах мониторинга.
2. Обобщить энтропийную модель многомерной стохастической системы на
случай дискретных компонент.
3. Разработать на основе векторного подхода методы энтропийного
управления применительно к гауссовским стохастическим системам.
4. Повысить достоверность векторного энтропийного моделирования
многомерных стохастических систем в условиях стохастической
неоднородности данных.
5. Создать комплекс проблемно-ориентированных программ для
проведения вычислительных экспериментов с целью исследования
эффективности разработанных алгоритмов векторного энтропийного
мониторинга и управления многомерными стохастическими системами.
6. На основе предложенных теоретических положений и инструментальных
средств разработать и апробировать на примерах из разных областей
эффективные алгоритмы для мониторинга и управления многомерными
стохастическими системами.
Научная новизна
В области математического моделирования:
1. Предложен новый подход к энтропийному моделированию многомерных
стохастических систем, основанный на векторном представлении энтропии
случайного вектора. Он позволяет в энтропийных моделях мониторинга и
управления учитывать независимо энтропии хаотичности и самоорганизации
системы.
2. В рамках предложенного векторного подхода сформулированы задачи
энтропийного мониторинга и управления многомерными стохастическими
системами.
3. Предложены методика включения в состав многомерных стохастических
систем дискретных компонент, что расширило возможности использования
дифференциальной энтропии, и учет стохастической неоднородности
экспериментальных данных, что позволило строить векторные энтропийные
модели многомерных стохастических систем различной природы.
4. Разработаны методики оценки влияния компонент и их взаимосвязей в
моделях мониторинга многомерных стохастических систем.
В области численных методов:
1. На основе сформулированной гипотезы векторного энтропийного
моделирования разработаны и исследованы алгоритмы для мониторинга
многомерных стохастических систем.
2. Разработан и исследован численный метод векторного энтропийного
управления гауссовскими стохастическими системами в виде оптимизационной
задачи, включающий различные варианты реализации на основе алгоритмов
нулевого, первого и второго порядка.
3. Исследована устойчивость моделирования векторной энтропии к
наличию в экспериментальных данных аномальных значений в виде выбросов,
что позволило использовать предложенный подход в условиях стохастической
неоднородности данных.
В области комплексов программ:
1. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для
проведения вычислительных экспериментов с целью исследования
эффективности предложенных алгоритмов векторного энтропийного
мониторинга и управления многомерными стохастическими системами.
2. С помощью разработанного программного комплекса решено несколько
задач мониторинга и управления стохастических систем и управления в
медицине, промышленной безопасности и экономике.
Теоретическая и практическая значимость работы
Теоретическая значимость представленной диссертационной работы
заключается в повышении адекватности методов энтропийного моделирования
и управления многомерными стохастическими системами за счет учета дуализма
энтропии, а также расширении его возможностей благодаря включению в состав
систем дискретных компонент и учету стохастической неоднородности
экспериментальных данных. Также в работе предложена новая методика оценки
влияния компонент и их взаимосвязей, которая позволит повысить
достоверность энтропийного моделирования. Полученные результаты
развивают теорию энтропийного моделирования многомерных стохастических
систем. Разработанные алгоритмы реализуют векторную энтропийную модель,
что позволяет повысить достоверность и адекватность энтропийного
моделирования в задачах мониторинга и управления.
Практическая значимость работы состоит в том, что предложенные
алгоритмы численной реализации векторного энтропийного моделирования
ориентированы на практическое использование разработчиками программного
обеспечения в составе систем поддержки принятия решений, связанных с
вопросами мониторинга и развития сложных систем. К таким системам можно
отнести территории и города, системы критичных инфраструктур,
популяционное и индивидуальное здоровье, промышленные предприятия и т.д.
Разработанный программный комплекс является универсальным и может быть
реализован для систем различных предметных областей. Функциональные
модули программного комплекса могут быть использованы автономно.
Положения и выводы диссертационной работы, а также разработанный
комплекс программ, использованы:
 в Научно-инженерном центре «Надежность и ресурс больших систем и
машин» Уральского отделения РАН для разработки и программной реализации
векторной динамической модели, описывающей развитие энтропии в системах
критичных инфраструктур;
 в Институте химической физики имени А.Б. Налбандяна НАН Республики
Армения для моделирования и исследования сложных стохастических систем в
задачах экологии окружающей среды;
 в Южно-Уральском государственном медицинском университете в
учебном процессе в курсах «Клиническая фармакология» и «Профилактика
неинфекционных заболеваний и формирование здорового образа жизни» для
системно-энтропийного анализа эффективности и безопасности лекарственных
средств, системно-энтропийного анализа популяционного здоровья по основным
факторам риска сердечно-сосудистых и других хронических неинфекционных
заболеваний.
Использование результатов диссертации подтверждено справками от
организаций.
Методология и методы диссертационного исследования
Объектом исследования являются многомерные стохастические системы.
Предметом исследования является векторный подход к энтропийному
моделированию многомерных стохастических систем, а также его
алгоритмическая и программная реализация.
Для решения поставленных задач в работе используются методы
математического моделирования, оптимизации, математической статистики,
системного анализа, статистических испытаний Монте-Карло.
Задача векторного энтропийного управления, которая является задачей
нелинейной оптимизации с ограничениями, решается с помощью метода
штрафных функций. Для решения задачи без ограничений были использованы
численные методы разного порядка. Из методов нулевого порядка был выбран
метод Нелдера-Мида (метод деформируемого многогранника), из методов
первого порядка — метод сопряженных градиентов, из методов второго порядка
– метод Ньютона.
Для программной реализации предложенных методов и алгоритмов были
применены современные средства и подходы программирования. Программный
комплекс, реализующий упомянутые методы и предназначенный для проведения
вычислительных экспериментов разработан в среде RStudio с применением
языка программирования R.
Положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся результаты, соответствующие пяти пунктам паспорта
специальности 05.13.18 – «Математическое моделирование, численные методы